Вариант 1. 1) Первую теорему об углах, образованных двумя прямыми и секущей. 2) В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 5 см, но меньше суммы боковых сторон на 12 см. Найдите стороны треугольника. 3) Постройте треугольник ABC, в котором стороны AB и BC перпендикулярны. Проведите через точку B прямую, перпендикулярную стороне AC. 4) Постройте тупоугольный треугольник ABC, отметьте внутри него точку P. Через точку P проведите прямые, параллельные сторонам этого треугольника. 5) Доказать, что BC || AD.

1) Первую теорему об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, формулируют так: Если при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 2) Пусть боковая сторона треугольника равна $x$ см. Тогда основание равно $(x + 5)$ см. Сумма боковых сторон равна $2x$ см. По условию: $x + 5 = 2x - 12$ $x = 17$ Боковые стороны по $17$ см, основание $17 + 5 = 22$ см. **Ответ: 17 см, 17 см, 22 см.** 3) Для построения: 1. Начертите прямой угол с вершиной $B$ (стороны $AB \perp BC$). 2. Соедините точки $A$ и $C$, чтобы получить треугольник $ABC$. 3. С помощью чертёжного угольника проведите через точку $B$ прямую, которая образует угол $90^{\circ}$ со стороной $AC$. 4) Для построения: 1. Начертите треугольник $ABC$, где один из углов больше $90^{\circ}$. 2. Отметьте произвольную точку $P$ внутри треугольника. 3. Через точку $P$ проведите три прямые, каждая из которых параллельна одной из сторон ($AB$, $BC$, $AC$). 5) По рисунку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$ (отмечено штрихами), значит $\angle BAC = ∠ BCA$ (углы при основании равнобедренного треугольника). Также на рисунке отмечено, что $AC$ — биссектриса угла $BAD$ (или $\angle BAC = ∠ CAD$). Следовательно, $\angle BCA = \angle CAD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как накрест лежащие углы равны, то $BC \parallel AD$.