№1. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

№1. Для нахождения синуса острого угла в равнобедренной трапеции: 1. Проведём высоты $BH$ и $CE$ к большему основанию $AD$. Так как трапеция равнобедренная, то $AH = ED = \frac{AD - BC}{2} = \frac{65 - 51}{2} = \frac{14}{2} = 7$. 2. Из прямоугольного треугольника $CED$ по теореме Пифагора найдём высоту $CE$: $CE = \sqrt{CD^2 - ED^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. 3. Синус острого угла $D$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin D = \frac{CE}{CD} = \frac{24}{25} = 0,96$. **Ответ: 0,96**. №2. В цилиндр, в который вписан шар, высота $h = 2r$, где $r$ — радиус шара и основания цилиндра. 1. Площадь полной поверхности цилиндра: $S_{цил} = 2\pi r(r + h) = 2\pi r(r + 2r) = 2\pi r \cdot 3r = 6\pi r^2$. 2. По условию $6\pi r^2 = 18$, откуда $\pi r^2 = 3$. 3. Площадь поверхности шара: $S_{шара} = 4\pi r^2$. 4. Подставим значение $\pi r^2$: $S_{шара} = 4 \cdot 3 = 12$. **Ответ: 12**. №3. 1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Длина диагонали $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$. Тогда $AO = BO = \frac{1}{2} d = 5$. 2. Разность векторов: $\vec{AO} - \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OB} = \vec{AB}$. 3. Длина разности векторов равна длине стороны $AB$. По рисунку сторона $AB$ — меньшая (или большая, результат зависит от того, какую сторону обозначили какой цифрой, обычно $AB$ — вертикальная сторона). Если стороны 6 и 8, то длина вектора $\vec{AB}$ равна либо 6, либо 8. Исходя из стандартного расположения вершин $ABCD$, где $AB$ — боковая сторона, её длина 6. **Ответ: 6**.