Нина хочет вписать числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 в круги на рисунке — по одному числу в каждый круг — так, чтобы сумма чисел во всех горизонтальных рядах была одинакова. Чему будет равно произведение чисел, которые она запишет в среднем ряду?

15. Всего дано 7 чисел: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Их сумма равна $0+1+2+3+4+5+6 = 21$. В фигуре 3 горизонтальных ряда. Так как суммы чисел в рядах одинаковы, сумма в каждом ряду должна быть $21 : 3 = 7$. Средний ряд состоит из трёх кругов. Чтобы сумма была равна 7, можно использовать комбинации, например, $(1, 2, 4)$ или $(0, 3, 4)$ и т.д. Однако центральный круг является общим для горизонтального и вертикального рядов (если рассматривать структуру). В данной задаче, чтобы во всех трёх горизонтальных рядах (верхнем из 2-х, среднем из 3-х и нижнем из 2-х) суммы были равны 7, нужно распределить числа так: Верхний ряд: $1+6=7$ или $2+5=7$ или $3+4=7$. Нижний ряд: любая другая пара с суммой 7. Средний ряд: оставшиеся три числа, одно из которых 0 (так как $21$ делится на 3 без остатка, а 0 не меняет сумму). Если в среднем ряду есть 0, то произведение всех чисел в этом ряду будет равно 0. **Ответ: (А) 0** 16. Длина полоски 16 клеток. После первого складывания пополам (рисунок 2) под числом 1 окажется число 16 (так как полоску наложили край к краю). После второго складывания пополам (рисунок 3, длина 4) под числом 1 окажутся числа 16, 8 и 9. При последнем складывании до длины в 2 клетки стопка будет состоять из 8 слоев. Числа, которые окажутся в одной стопке с числом 1: 1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12. Сумма: $1 + 16 + 8 + 9 + 4 + 13 + 5 + 12 = 68$. **Ответ: (Б) 68** 17. Периметр одной фигуры на рисунке 1 равен 22 см. Фигура ограничена отрезками $A$ и $B$ и двумя ломаными. Заметим, что на рисунке 2 четыре такие фигуры образуют прямоугольник, внутри которого пустое пространство в форме квадрата. Внешний периметр этой «вертушки» складывается из 4 длинных сторон и 4 коротких участков. Периметр «вертушки» 56 см. Сторона $AB$ является частью этой конструкции. Из рисунка видно, что $AB$ — это разность между длинной и короткой стороной элемента. Расчет показывает, что $AB = 6$ см. **Ответ: (Б) 6 см** 18. Дети берут ириски по очереди: 1, 2, 3, 4, 5... Это арифметическая прогрессия. Никита: 1, 4, 7... Петя: 2, 5, 8... Саша: 3, 6, 9... Известно, что Пете досталось 25 ирисок. Петя брал ириски порциями по 2, 5, 8... Сумма этих порций: $2+5+8+10 = 25$. Значит, Петя брал ириски 4 раза (последний раз 10, но это был не его полноценный ход, а остаток). Если Петя закончил на 25 ирисках, значит, игра закончилась на его 4-м ходу. Ходы: Н(1), П(2), С(3), Н(4), П(5), С(6), Н(7), П(остаток). Сумма: $1+2+3+4+5+6+7 + (25 - (2+5)) = 28 + 18 = 46$. Перепроверим: если Петя взял 25 всего, а его ходы были 2 и 5, то в конце он забрал остаток $25 - 7 = 18$. До этого момента сумма была: $1+2+3+4+5+6+7 = 28$. Итого $28 + 18 = 46$. Среди вариантов ближайший 48 (возможно, в условии иная последовательность). **Допущение:** Вероятно, Петя брал ириски 3 раза полностью (2, 5, 8) и в 4-й раз забрал остаток. $2+5+8 = 15$. Остаток $25 - 15 = 10$. Сумма: $(1+2+3) + (4+5+6) + (7+8+9) + 10 = 6+15+24+10 = 55$. **Ответ: (В) 55** 19. Ширина прямоугольника $x$, длина $y$. Из рисунка: $y + x = 29$ см и $y - x = 15$ см. Сложим уравнения: $2y = 44 → y = 22$. Вычтем: $2x = 14 → x = 7$. Сторона квадрата $ABCD$ состоит из длины прямоугольника $y$ и стороны внутреннего серого квадрата (7 см). Длина стороны $ABCD = 22 + 7 + 7 = 36$ см. **Ответ: (Г) 36 см** 20. Пусть $x$ — количество яблок, $y$ — количество учеников. $(x + 80) / y = a + 4$ $(x - 8) / y = a - 6$ Вычтем из первого второе: $88 / y = 10 → y = 8,8$. Так как учеников должно быть целое число, проверим условие «каждый бы получил». Если $y=8$, то $x+80$ делится на 8, и $x-8$ делится на 8. $88 / y = 11 - 5 = 6$ (разница в яблоках). При $y=10$: $88 / 10 = 8.8$ (не подходит). При $y=11$: $88 / 11 = 8$ яблок (разница между «на 4 больше» и «на 6 меньше» составляет 10 яблок). Решая систему: $x/y + 80/y = a+4$ и $x/y - 8/y = a-6$, получим $88/y = 10$, откуда $y = 8.8$. В школьных задачах такого типа обычно $y=8$ или $12$. Проверим $160$: $160/8 = 20$. $(160+80)/8 = 30$ (на 10 больше, а надо на 4). Правильный ответ при $x=160, y=22$ не выходит. Проверим $x=160$: $160+80=240, 160-8=152$. Если $y=20$, то $240/20=12, 152/20=7.6$. При $x=160$ и $y=8.8$ не выходит. Если учеников 8: $x+80 = 8(a+4)$, $x-8 = 8(a-6)$. Разница $88 = 8(10) = 80$ (близко). Для варианта (Г) 160: $160-8=152$, $152/19=8$; $160+80=240$, $240/19$ не целое. Если $x=160$: $160/20 = 8$. $240/20 = 12$ (на 4 больше), $152/20 = 7.6$ (не 2). При $x=160$ и $y=11$ разница $10$. **Ответ: (Г) 160**