Решите тригонометрическое уравнение $\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Чтобы его решить, нужно разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$). $$\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$$ Разделим на $\cos^2 x$: $$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$tg^2 x - 4tg x + 3 = 0$$ Пусть $tg x = t$, тогда: $$t^2 - 4t + 3 = 0$$ По теореме Виета: $$\begin{cases} t_1 + t_2 = 4 \\ t_1 \cdot t_2 = 3 \end{cases} \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = 3$$ Вернёмся к замене: 1) $tg x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $tg x = 3 \Rightarrow x = arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = arctg(3) + \pi k; n, k \in \mathbb{Z}$**