1. Построить графики функций и найти координаты точек пересечения параболы y = x² - 2 и прямой y = 2x + 1.

1. Чтобы найти точки пересечения, составим уравнение: $x^2 - 2 = 2x + 1$ $x^2 - 2x - 3 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 3, x_2 = -1$ Найдём координаты $y$: $y_1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ $y_2 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$ Точки пересечения: $(3; 7)$ и $(-1; -1)$. :::div .chart-container @chart-1::: 2. Подставим $y = 2x - 2$ во второе уравнение: $2x^2 - x(2x - 2) = 6$ $2x^2 - 2x^2 + 2x = 6$ $2x = 6$ $x = 3$ Найдём $y$: $y = 2 \cdot 3 - 2 = 4$ Ответ: $(3; 4)$. 3. Заметим, что $x^2 + y^2 + 2xy = (x + y)^2$. Система примет вид: $\begin{cases} x - y = 5 \\ (x + y)^2 = 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = \pm 4 \end{cases}$ Рассмотрим два случая: а) $\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases} \Rightarrow 2x = 9, x = 4,5; y = -0,5$ б) $\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = -4 \end{cases} \Rightarrow 2x = 1, x = 0,5; y = -4,5$ Ответ: $(4,5; -0,5), (0,5; -4,5)$. 4. Пусть стороны $a$ и $b$. Составим систему: $\begin{cases} 2(a + b) = 68 \\ a^2 + b^2 = 26^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + b = 34 \\ a^2 + b^2 = 676 \end{cases}$ $b = 34 - a$ $a^2 + (34 - a)^2 = 676$ $a^2 + 1156 - 68a + a^2 = 676$ $2a^2 - 68a + 480 = 0$ $a^2 - 34a + 240 = 0$ $D = 34^2 - 4 \cdot 240 = 1156 - 960 = 196 = 14^2$ $a_1 = \frac{34 + 14}{2} = 24; a_2 = \frac{34 - 14}{2} = 10$ Если $a = 24$, то $b = 10$. Если $a = 10$, то $b = 24$. Ответ: 10 см и 24 см.