Контрольная работа Вариант 2. 1. Найдите tg α, если cos α = 2√5/5, α ∈ (3π/2, 2π).

1. Найдем $\sin \alpha$ через основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{20}{25}} = -\sqrt{\frac{5}{25}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ (минус, так как $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ — IV четверть). $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{5}/5}{2\sqrt{5}/5} = -\frac{1}{2} = -0,5$. **Ответ: -0,5**. 2. а) $20 \sin 120^\circ \cos 150^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -20 \cdot \frac{3}{4} = -15$. б) $22\sqrt{6} \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{6} = 22\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{22\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{4} = -\frac{22 \cdot 6}{4} = -33$. в) $-23\sqrt{3} \operatorname{tg} 1020^\circ = -23\sqrt{3} \operatorname{tg}(3 \cdot 360^\circ - 60^\circ) = -23\sqrt{3} \cdot (-\operatorname{tg} 60^\circ) = 23\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 69$. г) $\frac{-34 \sin 389^\circ}{\sin 29^\circ} = \frac{-34 \sin(360^\circ + 29^\circ)}{\sin 29^\circ} = \frac{-34 \sin 29^\circ}{\sin 29^\circ} = -34$. 3. а) Используем формулы приведения: $\frac{3 \cos(-\pi - \beta) - 2 \sin(\frac{\pi}{2} + \beta)}{\cos(\beta - 2\pi)} = \frac{-3 \cos \beta - 2 \cos \beta}{\cos \beta} = \frac{-5 \cos \beta}{\cos \beta} = -5$. б) Разделим числитель и знаменатель на $\cos \alpha$: $\frac{7 - 6 \operatorname{tg} \alpha}{3 \operatorname{tg} \alpha + 2} = \frac{7 - 6 \cdot 3}{3 \cdot 3 + 2} = \frac{7 - 18}{9 + 2} = \frac{-11}{11} = -1$. 4. а) $\sin \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \cos \alpha = \cos \alpha - \cos \alpha = 0$. б) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha$. 5. а) $(2 \sin x - 1)(2 \cos x - 3) = 0$ $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $2 \cos x - 3 = 0 \Rightarrow \cos x = 1,5$ (решений нет, так как $|\cos x| \le 1$). **Ответ: x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$**. б) $(\frac{1}{81})^{\cos x} = 9^{4 \sin x \cos x} \Rightarrow 9^{-2 \cos x} = 9^{4 \sin x \cos x} \Rightarrow -2 \cos x = 4 \sin x \cos x$ $4 \sin x \cos x + 2 \cos x = 0 \Rightarrow 2 \cos x (2 \sin x + 1) = 0$ 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = -0,5 \Rightarrow x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 6. а) $4 \sin^2 x - 12 \sin x + 5 = 0$. Пусть $\sin x = t, |t| \le 1$. $4t^2 - 12t + 5 = 0$; $D = 144 - 80 = 64$. $t_1 = \frac{12 + 8}{8} = 2,5$ (не подходит); $t_2 = \frac{12 - 8}{8} = 0,5$. $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Корни на $[-\pi, 2\pi]$: $k=-1: x = -\frac{7\pi}{6}$ (вне); $k=0: x = \frac{\pi}{6}$; $k=1: x = \frac{5\pi}{6}$; $k=2: x = \frac{13\pi}{6}$ (вне). **Ответ: а) (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k; б) \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}**.