15. В треугольнике ABC известно, что AC = 54, BM — медиана, BM = 43. Найдите AM.

15. В треугольнике медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам. $AM = AC : 2 = 54 : 2 = 27$. **Ответ: 27**. 16. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные, значит $\angle BOC = \angle AOD = 110^\circ$. $\angle ACB$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $\angle AOB$. 1) Найдем $\angle AOB$, так как он смежный с $\angle AOD$: $\angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. 2) Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $\angle ACB = \angle AOB : 2 = 70^\circ : 2 = 35^\circ$. **Ответ: 35**. 17. В треугольнике $DCE$ стороны $DC = DE$, значит он равнобедренный. $\angle DEC = 53^\circ$, тогда $\angle DCE = 53^\circ$. 1) Угол $\angle ADC$ — внешний для $\triangle DCE$: $\angle ADC = \angle DEC + \angle DCE = 53^\circ + 53^\circ = 106^\circ$. 2) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. $\angle DAB = 180^ \circ - 106^\circ = 74^\circ$. Больший угол равен $106^\circ$. **Ответ: 106**. 18. Площадь фигуры на клетчатой бумаге считается по количеству полных клеток. В данной фигуре 13 клеток. **Ответ: 13**. 19. Разбор утверждений: 1) **Верно**. Это аксиома геометрии: через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 2) **Неверно**. Например, квадрат и ромб могут иметь одинаковые стороны, но не быть равными фигурами. 3) **Неверно**. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$, они равны только если оба по $90^\circ$. **Ответ: 1**.