Вариант 1. 1) Найти угол между лучом OA и положительной полуосью Ox, если A(-1; 3). 2) Решить ΔABC, если ∠B=30°, ∠C=105°, BC=3√2 см. 3) Найти косинус угла M в ΔKLM, если K(1; 7), L(-2; 4), M(2; 0). 4) Вычислить косинус угла между векторами p и q, если p{3; -4}, q{15; 8}.

### Вариант 1 1. Найдём тангенс угла $\alpha$ между лучом $OA$ и осью $Ox$: $\text{tg } \alpha = \frac{y_A}{x_A} = \frac{3}{-1} = -3$. Так как $x < 0, y > 0$, угол находится во II четверти. $\alpha = 180^{\circ} - \text{arctg}(3) \approx 108{,}4^{\circ}$. **Ответ:** $\approx 108{,}4^{\circ}$. 2. Решим $\triangle ABC$: $\angle A = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 105^{\circ}) = 45^{\circ}$. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin A} = ?rac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$. $AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 0,5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3$ см. $AB = \frac{BC \cdot \sin 105^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(60^{\circ}+45^{\circ})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \cdot (\sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ}) = 6 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2}$ см. **Ответ:** $\angle A = 45^{\circ}$, $AC = 3$ см, $AB = \frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$ см. 3. Найдём стороны $\triangle KLM$: $\vec{MK} = \{1-2; 7-0\} = \{-1; 7\}$, $|MK| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. $\vec{ML} = \{-2-2; 4-0\} = \{-4; 4\}$, $|ML| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. $\vec{KL} = \{-2-1; 4-7\} = \{-3; -3\}$, $|KL| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. По теореме косинусов: $KL^2 = MK^2 + ML^2 - 2 \cdot MK \cdot ML \cdot \cos M$. $18 = 50 + 32 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos M \Rightarrow 18 = 82 - 80 \cos M \Rightarrow 80 \cos M = 64 \Rightarrow \cos M = 0,8$. **Ответ:** $0,8$. 4. $\cos(\vec{p}, \vec{q}) = \frac{x_p x_q + y_p y_q}{\sqrt{x_p^2 + y_p^2} \cdot \sqrt{x_q^2 + y_q^2}} = \frac{3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8}{\sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{15^2 + 8^2}} = \frac{45 - 32}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{289}} = \frac{13}{5 \cdot 17} = \frac{13}{85}$. **Ответ:** $\frac{13}{85}$. ### Вариант 2 1. $\text{tg } \alpha = \frac{3}{3} = 1$. Так как $x > 0, y > 0$, угол $\alpha = 45^{\circ}$. **Ответ:** $45^{\circ}$. 2. Решим $\triangle BCD$: $\angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$. $CD = \frac{BC \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2}$ см. $BD = \frac{BC \cdot \sin 75^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin(45^{\circ}+30^{\circ})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ см. **Ответ:** $\angle C = 75^{\circ}$, $CD = \sqrt{2}$ см, $BD = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ см. 3. $\vec{AB} = \{0-3; 6-9\} = \{-3; -3\}$, $|AB| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. $\vec{AC} = \{4-3; 2-9\} = \{1; -7\}$, $|AC| = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. $\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{-3 \cdot 1 + (-3) \cdot (-7)}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-3 + 21}{30} = \frac{18}{30} = 0,6$. **Ответ:** $0,6$. 4. $\text{Допущение: вектор } \vec{a} \text{ из-за обреза на фото принят за } \{-3; 2\} \text{, если иное — пересчитай по формуле}$. По фото $\vec{b} = \{3; 4\}$. $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{-3 \cdot 3 + 2 \cdot 4}{\sqrt{9+4} \cdot \sqrt{9+16}} = \frac{-9+8}{\sqrt{13} \cdot 5} = -\frac{1}{5\sqrt{13}}$. **Ответ:** $-\frac{1}{5\sqrt{13}}$.