Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) Сумма углов при основании: $38^{\circ} + 38^{\circ} = 76^{\circ}$. 2) Угол при вершине: $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: $104^{\circ}$**. 2. На рис. 53 прямые $MN$ и $AD$ пересекаются секущей $KD$. Сумма внутренних односторонних углов $\angle MKD + \angle KDA = 73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Значит, $MN \parallel AD$. Для параллельных прямых $MN$ и $AD$ и секущей $FC$ накрест лежащие углы равны: $\angle FCD = \angle KFC = 44^{\circ}$. $\angle CFN$ и $\angle KFC$ — смежные углы, их сумма $180^{\circ}$. $\angle CFN = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. **Ответ: $136^{\circ}$**. 3. На рис. 54 рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит $\angle ACB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. $\angle ECF$ и $\angle ACB$ — смежные, значит $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. В треугольнике $ECF$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle ECF + \angle CEF) = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: $60^{\circ}$**. 4. По условию $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Это означает, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм (по определению). В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. 5. В треугольнике $MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$, $\angle M = 30^{\circ}$): 1) $\angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. 2) $FD$ — биссектриса, значит $\angle MFD = \angle DFN = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В треугольнике $MFD$ углы при основании $MF$ равны ($\angle M = 30^{\circ}$, $\angle MFD = 30^{\circ}$), значит он равнобедренный: $MD = FD = 20$ см. 4) В прямоугольном треугольнике $DFN$ катет $DN$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит он равен половине гипотенузы $FD$: $DN = 20 : 2 = 10$ см. 5) Катет $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см. **Ответ: 30 см**.