Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 2.

№ 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов в треугольнике составляет $180^{\circ}$. 1) $38^{\circ} \cdot 2 = 76^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$ — угол при вершине. **Ответ: $104^{\circ}$.** № 2. Рассмотрим рисунок 53. Углы $\angle MKF = 73^{\circ}$ и $\angle KFA = 107^{\circ}$ являются односторонними при прямых $MN$, $AC$ и секущей $KF$. Так как $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$, то прямые $MN \parallel AC$. Угол $\angle CFN$ и угол $\angle FCA = 112^{\circ}$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $FC$. По свойству параллельных прямых: $\angle CFN = \angle FCA = 112^{\circ}$. **Ответ: $112^{\circ}$.** № 3. Рассмотрим рисунок 54. 1) В треугольнике $ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. 2) Угол $\angle DCE$ вертикален углу $\angle ACB$, значит $\angle DCE = 40^{\circ}$. 3) В треугольнике $DCE$: $\angle F$ (или $\angle D$) $= 180^{\circ} - (40^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$. **Ответ: $115^{\circ}$.** № 4. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противоположные углы равны. Значит, $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. № 5. Допущение: в условии опечатка в названии треугольника или биссектрисы (указан треугольник $MNF$, а биссектриса $AD$). Вероятно, треугольник $MNF$ имеет прямой угол $N=90^{\circ}$ и вершину $M=60^{\circ}$, а биссектриса выходит из вершины $M$ и называется $MD$ (точка $D$ на стороне $NF$). 1) В $\triangle MNF$: $\angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2) $MD$ — биссектриса $\angle M$, значит $\angle NMD = \angle DMF = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle MDF$: $\angle DMF = 30^{\circ}$ и $\angle F = 30^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, значит $MD = FD = 20$ см. 4) В прямоугольном $\triangle MND$: против угла $\angle NMD = 30^{\circ}$ лежит катет $ND$. $ND = \frac{1}{2} MD = 10$ см. 5) Найдем $MN$ по теореме Пифагора или через $\cos(30^{\circ})$ в $\triangle MND$: $MN = MD \cdot \cos(30^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см. **Ответ: $10\sqrt{3}$ см.**