1. В треугольнике два угла равны 36° и 73°. Найдите его третий угол.

1. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - (36^{\circ} + 73^{\circ}) = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ}$. **Ответ: $71^{\circ}$.** 2. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$: $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 32^{\circ}) : 2 = 148^{\circ} : 2 = 74^{\circ}$. $\triangle ADC$ — равнобедренный ($AD=AC$ по условию). $\angle DAC$ и $\angle BAC$ — смежные, так как $D$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. $\angle DAC = 180^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ}$. Углы при основании $DC$ в $\triangle ADC$ равны: $\angle ADC = (180^{\circ} - 106^{\circ}) : 2 = 74^{\circ} : 2 = 37^{\circ}$. **Ответ: $37^{\circ}$.** 3. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ}) = 80^{\circ}$. $BD$ — биссектриса, значит $\angle ABD = \angle DBC = 80^{\circ} : 2 = 40^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle ABH$ ($\angle H = 90^{\circ}$): $\angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. Угол между высотой и биссектрисой: $\angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ}$. **Ответ: $10^{\circ}$.** 4. Биссектриса делит угол пополам. В $\triangle ABC$ угол $C$: $\angle ACB = 180^{\circ} - (46^{\circ} + 78^{\circ}) = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$. Так как $CE$ — биссектриса $\angle ACB$, то $\angle BCE = \angle ACB : 2 = 56^{\circ} : 2 = 28^{\circ}$. **Ответ: $28^{\circ}$.** 5. Пусть $BK$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$. Внешний угол $\angle CBX = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. Так как $BK$ — биссектриса, то $\angle KBC = 150^{\circ} : 2 = 75^{\circ}$. По условию $BK \parallel AC$. Углы $\angle KBC$ и $\angle BCA$ — накрест лежащие при параллельных прямых и секущей $BC$, значит $\angle BCA = \angle KBC = 75^{\circ}$. В $\triangle ABC$: $\angle CAB = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 75^{\circ}) = 75^{\circ}$. **Ответ: $75^{\circ}$.**