В треугольнике REN RE = 36 см, EN = 20 см, RN = 22 см. Найдите средние линии этого треугольника.

1. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. $m_1 = REN / 2 = 36 / 2 = 18$ см. $m_2 = EN / 2 = 20 / 2 = 10$ см. $m_3 = RN / 2 = 22 / 2 = 11$ см. **Ответ: 18 см, 10 см, 11 см.** 2. Средняя линия трапеции ($m$) равна полусумме оснований ($a$ и $b$): $m = (a + b) / 2$. Пусть $a = 37$ см, тогда $24 = (37 + b) / 2$; $48 = 37 + b$; $b = 48 - 37 = 11$ см. **Ответ: 11 см.** 3. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. $CX = \frac{2}{3} MC = \frac{2}{3} \cdot 159 = 2 \cdot 53 = 106$ см. $XM = \frac{1}{3} MC = \frac{1}{3} \cdot 159 = 53$ см. **Ответ: CX = 106 см, XM = 53 см.** 4. Треугольники $OSZ$ и $KBZ$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных основаниях). Коэффициент подобия: $k = OS / KB = 80 / 40 = 2$. Следовательно, $OZ / ZB = k = 2$. $ZB = OZ / 2 = 90 / 2 = 45$ см. **Ответ: 45 см.** 5. В прямоугольном треугольнике высота $h$, проведенная к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов $a_c$ и $b_c$, а катеты $a$ и $b$ — среднему геометрическому гипотенузы $c$ и их проекций. Проекции: $a_c = 25$ см, $b_c = 4$ см. Гипотенуза $c = 25 + 4 = 29$ см. а) $h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{25 \cdot 4} = \sqrt{100} = 10$ см. б) $a = \sqrt{a_c \cdot c} = \sqrt{25 \cdot 29} = 5\sqrt{29}$ см; $b = \sqrt{b_c \cdot c} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}$ см. **Ответ: а) 10 см; б) 5√29 см и 2√29 см.**