Медианы треугольника MNK пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая, параллельная стороне MK и пересекающая стороны MN и NK в точках A и B соответственно. Найдите MK, если длина отрезка AB равна 12 см.

2. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. Пусть $M_1$ — середина $NK$. В $\triangle MNK$ отрезок $AB \parallel MK$, значит $\triangle ANB \sim \triangle MNK$. Отношение их сходственных сторон и высот (или медиан) равно коэффициенту подобия. Медиана $NO$ в $\triangle MNK$ делится точкой $O$ так, что $NO : NM_1 = 2 : 3$. Следовательно, $AB : MK = 2 : 3$. $MK = \frac{3}{2} AB = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18$ см. **Ответ: 18 см**. 3. По теореме Пифагора $KP^2 = PT^2 + KT^2 = (7\sqrt{3})^2 + 7^2 = 49 \cdot 3 + 49 = 147 + 49 = 196$, значит $KP = \sqrt{196} = 14$ см. $\cos K = \frac{KT}{KP} = \frac{7}{14} = 0,5$, значит $\angle K = 60^\circ$. **Ответ: $\angle K = 60^\circ$, $KP = 14$ см**. 4. В $\triangle ABH$ ($\angle H = 90^\circ$): $AH = \frac{BH}{\text{tg } \alpha} = \frac{4}{\text{tg } \alpha}$. В $\triangle CBH$ ($\angle H = 90^\circ$): $CH = \frac{BH}{\text{tg } \beta} = \frac{4}{\text{tg } \beta}$. $AC = AH + CH = \frac{4}{\text{tg } \alpha} + \frac{4}{\text{tg } \beta} = 4(\text{ctg } \alpha + \text{ctg } \beta)$ см. **Ответ: $4(\text{ctg } \alpha + \text{ctg } \beta)$ см**. 5. Так как $EK = KP$, то $\triangle EKP$ — равнобедренный с основанием $EP$. Однако в условии сказано, что $E$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $MN$ и $KP$ трапеции $MNKP$. Это означает, что $E, N, M$ и $E, K, P$ лежат на одной прямой. Если $EK = KP$, то $P$ — середина $EP$, а $K$ — середина $EP$ (противоречие). Вероятно, в условии опечатка, и имелось в виду $\triangle ME P$ или подобие. Если трактовать $EK = KP$ как $EK = 2 \cdot NK$ или иное, данных недостаточно. Но если предположить, что $N$ и $K$ — середины сторон $EM$ и $EP$ (так как $EK = KP$ может намекать на равенство отрезков на боковой стороне), то $NK$ — средняя линия. Тогда $MP = 2 \cdot NK = 14$ см. Разность оснований: $14 - 7 = 7$ см. **Допущение: $NK$ — средняя линия трапеции ($N$ и $K$ середины боковых сторон $EM$ и $EP$)**. **Ответ: 7 см**.