Контрольная работа по теме «Координаты и векторы в пространстве». Вариант 1. 1. Точка A — середина отрезка MK. Найдите координаты точки A и длину отрезка MK, если M (5; -2; 1), K (3; 4; -3).

1. Чтобы найти координаты середины отрезка $A$, вычислим среднее арифметическое координат его концов $M$ и $K$: $x_A = \frac{5 + 3}{2} = 4; \quad y_A = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \quad z_A = \frac{1 + (-3)}{2} = -1$. Координаты точки $A(4; 1; -1)$. Длина отрезка $MK$ вычисляется по формуле расстояния между точками: $MK = \sqrt{(3 - 5)^2 + (4 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 36 + 16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$. **Ответ: $A(4; 1; -1)$; $MK = 2\sqrt{14}$.** 2. 1) Найдем координаты вектора $\vec{m} = -3\vec{a} + 2\vec{b}$: $-3\vec{a} = (-3 \cdot 3; -3 \cdot (-2); -3 \cdot (-1)) = (-9; 6; 3)$ $2\vec{b} = (2 \cdot 1; 2 \cdot 2; 2 \cdot 4) = (2; 4; 8)$ $\vec{m} = (-9 + 2; 6 + 4; 3 + 8) = (-7; 10; 11)$. 2) Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 4}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{3 - 4 - 4}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-5}{\sqrt{294}} = -\frac{5}{7\sqrt{6}}$. **Ответ: 1) $\vec{m}(-7; 10; 11)$; 2) $\cos \alpha = -\frac{5}{7\sqrt{6}}$.** 3. Чтобы найти наименьший угол, найдем длины всех сторон треугольника $ABC$: $AB = \sqrt{(-5 - (-2))^2 + (-6 - 4)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 100 + 4} = \sqrt{113}$ $BC = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (10 - (-6))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{9^2 + 16^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 256 + 16} = \sqrt{353}$ $AC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (10 - 4)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 36 + 4} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$. Наименьший угол лежит против наименьшей стороны. Так как $AC < AB < BC$ (т.к. $76 < 113 < 353$), то наименьшим является угол $B$, лежащий против стороны $AC$. **Ответ: наименьший угол — $\angle B$.**