Через сторону AD квадрата ABCD проведена плоскость α. Из вершины B на эту плоскость опущен перпендикуляр BB₁. Найдите диагональ квадрата, если B₁A = 2√2 см, ∠DBA = 45°.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (так как $BB_1 \perp \alpha$, а точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$). В нём $\angle B_1AB$ — это угол между диагональю $AB$ и её проекцией, но по условию нам даны $B_1A = 2\sqrt{2}$ см и $\angle DBA = 45^\circ$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, его диагонали образуют со сторонами угол $45^\circ$, что подтверждает условие. 2. В треугольнике $ABB_1$ катет $AB$ является стороной квадрата. Угол $\angle B_1AB$ — это угол наклона стороны квадрата к плоскости. Однако, судя по расположению точек на рисунке, $B_1A$ является проекцией стороны $AB$. Если рассматривать треугольник $BAB_1$ как прямоугольный ($\angle BB_1A = 90^\circ$): $AB = \frac{B_1A}{\cos(\angle B_1AB)}$. Поскольку угол не задан напрямую для стороны, но дан $\angle DBA$, воспользуемся свойствами квадрата. 3. В квадрате диагональ $d = a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата. 4. Из чертежа и условия $\angle DBA = 45^{\circ}$ следует, что $AB$ — сторона. Если предположить, что $B_1A$ — это проекция стороны $AB$ на плоскость $\alpha$ под углом, который в данной задаче (Вариант А2) часто подразумевается равным углу наклона диагонали. Если $\angle B_1AB$ не указан, обычно в таких задачах $B_1A$ и есть искомая проекция или часть данных для нахождения стороны. **Допущение:** В условии Варианта А2 пропущен угол наклона стороны к плоскости или подразумевается связь с предыдущим вариантом. Если $B_1A$ — это проекция диагонали $BD$ на плоскость (что логичнее для вопроса о диагонали), то в прямоугольном треугольнике $B B_1 D$: $BD = \frac{B_1 D}{\cos \angle}$, но данных недостаточно. Если же рассматривать $B_1 A$ как катет в треугольнике $B B_1 A$, и угол наклона стороны $AB$ к плоскости $\alpha$ равен $45^\circ$ (по аналогии с углом $DBA$), то: $AB = \frac{B_1 A}{\cos 45^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4$ см. Тогда диагональ квадрата $AC = BD = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. **Ответ: 4\sqrt{2} см** (при допущении угла наклона стороны в $45^\circ$).