2. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них острый угол 25°, а у другого - угол, равный 65°? Объяснить ответ.

2. Да, подобны. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Если в одном треугольнике угол $25^\circ$, то второй острый угол равен $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$. Таким образом, треугольники имеют по два равных угла ($90^\circ$ и $65^\circ$), что соответствует первому признаку подобия треугольников. 3. Доказательство: $\angle KOM = \angle NOC$ (вертикальные), $\angle MKO = \angle CNO$ (накрест лежащие при параллельных прямых $KM$ и $NC$ и секущей $KN$). Треугольники $KMO$ и $NCO$ подобны по двум углам. Из подобия: $\frac{KM}{NC} = \frac{MO}{CO}$ — недостаточно данных для вычисления $KM$ через $ON=10$ см и $MO=20$ см, так как $ON$ и $CO$ не обязательно равны. **Допущение:** Если в условии опечатка и $ON$ соответствует $CO$ (или дана сторона $CO$), то решение возможно. Если же считать, что $ON$ и $OC$ лежат на одной прямой $KN$ и $ON=10$ см является сходственной стороной для $OK$, то для нахождения $KM$ не хватает данных о стороне $OK$. Если предположить, что $ON$ и $OC$ — это одно и то же: $\frac{KM}{15} = \frac{20}{10} \Rightarrow KM = \frac{20 \cdot 15}{10} = 30$ см. 4. Проверим отношение сходственных сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{50}{10} = 5$; $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{60}{12} = 5$. Так как $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$ и $\angle B = \angle B_1$, треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). 5. Проверим отношения сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{56}{7} = 8$; $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{72}{9} = 8$; $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{32}{4} = 8$. Отношения всех трех пар сходственных сторон равны, значит, треугольники подобны по третьему признаку подобия. 6. 1) $\frac{16}{8} = 2$; $\frac{18}{9} = 2$; $\frac{10}{5} = 2$. Да, подобны (по 3-м сторонам). 2) $\frac{12}{24} = 0,5$; $\frac{17}{34} = 0,5$; $\frac{22}{44} = 0,5$. Да, подобны. 7. Стороны первого треугольника: $3x, 8x, 11x$. Такого треугольника не существует, так как не выполняется неравенство треугольника: $3x + 8x = 11x$ (сумма двух сторон должна быть больше третьей). Ответ: Не подобны, так как первый треугольник невозможен. 8. Проверим отношения: $\frac{BC}{KC} = \frac{48}{16} = 3$; $\frac{AC}{NC} = \frac{36}{12} = 3$. У треугольников $ABC$ и $NKC$ угол $C$ общий. Так как $\frac{BC}{KC} = \frac{AC}{NC}$ и $\angle C$ — общий, треугольники подобны по второму признаку.