В правильной четырёхугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а её высота равна 4 см.

Для решения задачи 226 из учебника по геометрии: **Дано:** $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная четырёхугольная призма; $a = 2$ см (сторона основания); $h = 4$ см (высота призмы); Сечение проходит через диагональ основания (пусть $BD$) параллельно диагонали призмы (пусть $AC_1$). **Решение:** 1. В правильной четырёхугольной призме основание — квадрат. Диагональ основания $BD = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. 2. Чтобы построить сечение через $BD$, параллельное $AC_1$, нужно найти плоскость, содержащую $BD$, в которой прямая будет параллельна $AC_1$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $ABCD$. Проведём в плоскости $ACC_1A_1$ прямую $OK \parallel AC_1$, где $K$ лежит на ребре $CC_1$. Так как $O$ — середина $AC$, то $OK$ — средняя линия треугольника $ACC_1$ (или подобная ей линия). Тогда $CK = \frac{1}{2} CC_1 = \frac{4}{2} = 2$ см. 3. Искомое сечение — треугольник $BKD$ (так как $OK$ лежит в плоскости сечения и соединяет вершину с диагональю основания). 4. Высота этого треугольника $OK$ вычисляется из прямоугольного треугольника $OCK$ (где $\angle C = 90^{\circ}$): $OC = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора: $OK = \sqrt{OC^2 + CK^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}$ см. 5. Площадь сечения (треугольника $BKD$): $S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см². **Ответ: $2\sqrt{3}$ см².**