В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник $ACB$ ($\angle C = 90^\circ$), $AC = 4$, $BC = 3$. Через сторону $AC$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, $\angle B_1AC = 60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

$В основании прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник $ACB$ ($\angle C = 90^\circ$), $AC = 4$, $BC = 3$. Через сторону $AC$ и вершину $B_1$ проведена плоскость, $\angle B_1AC = 60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.$

Фотография

Ответ ассистента

В прямой призме боковое ребро перпендикулярно плоскости основания ($BB_1 \perp AC$). Так как $AC \perp BC$ (по условию) и $AC \perp BB_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AC \perp (BCB_1)$. Следовательно, $AC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть $AC \perp CB_1$. Значит, $\triangle ACB_1$ — прямоугольный с прямым углом $C$. 1. Из $\triangle ACB_1$ ($\angle C = 90^\circ$): $CB_1 = AC \cdot \tan(\angle B_1AC) = 4 \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{3}$. 2. Из прямоугольного $\triangle BCB_1$ по теореме Пифагора найдем высоту призмы $h = BB_1$: $BB_1 = \sqrt{CB_1^2 - BC^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 3^2} = \sqrt{48 - 9} = \sqrt{39}$. 3. Найдем гипотенузу основания $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. 4. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту: $P_{осн} = AC + BC + AB = 4 + 3 + 5 = 12$. $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 12 \cdot \sqrt{39}$. **Ответ: $12\sqrt{39}$**.

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи