1. На рисунке ∠BAE = 112°, ∠DBF = 68°, BC = 9 см. Найдите сторону AC треугольника ABC. 2. В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем угол NKP острый. Докажите, что KP < MP. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

1. Рассмотрим углы на рисунке: $\bullet$ $\angle BAC$ и $\angle BAE$ — смежные, поэтому $\angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAE = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$. $\bullet$ $\angle ABC$ и $\angle DBF$ — вертикальные, поэтому $\angle ABC = \angle DBF = 68^{\circ}$. $\bullet$ В треугольнике $ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle ABC = 68^{\circ}$), значит, он равнобедренный с основанием $AB$. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны: $AC = BC$. Так как по условию $BC = 9$ см, то $AC = 9$ см. **Ответ: 9 см.** 2. В треугольнике $MNP$ точка $K$ лежит на стороне $MN$, значит, $\angle MKP$ является внешним углом для треугольника $KNP$. По свойству внешнего угла: $\angle MKP = \angle KNP + \angle KPN$. Отсюда следует, что $\angle MKP > \angle KNP$. В треугольнике $MKP$ против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle NKP$ острый по условию, то смежный с ним $\angle MKP$ — тупой. В треугольнике может быть только один тупой угол, и он всегда самый большой. Значит, сторона $MP$, лежащая против тупого угла $\angle MKP$, больше стороны $KP$, лежащей против острого угла $\angle KMP$. Следовательно, $KP < MP$. 3. В равнобедренном тупоугольном треугольнике тупой угол может быть только при вершине, а значит, основание — самая длинная сторона. Пусть боковая сторона равна $x$ см, тогда основание равно $(x + 17)$ см. Периметр: $x + x + (x + 17) = 77$ $3x + 17 = 77$ $3x = 60$ $x = 20$ (см) — боковые стороны. $20 + 17 = 37$ (см) — основание. Проверим неравенство треугольника: $20 + 20 > 37$ (верно). Если бы основание было $x$, а боковые стороны $x + 17$: $x + 2(x + 17) = 77 \Rightarrow 3x + 34 = 77 \Rightarrow 3x = 43 \Rightarrow x = 14\frac{1}{3}$. Тогда стороны $14\frac{1}{3}$, $31\frac{1}{3}$ и $31\frac{1}{3}$. Но в тупоугольном треугольнике основание (против тупого угла) должно быть самой большой стороной, здесь же $14\frac{1}{3} < 31\frac{1}{3}$, что невозможно для основания тупоугольного треугольника. **Ответ: 20 см, 20 см, 37 см.**