Question

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 9.

Accepted Answer

Дано:
$ABCD$ — параллелограмм;
$AM$ — биссектриса $\angle A$;
$DM$ — биссектриса $\angle D$;
$M \in BC$;
$AB = 9$.

Найти:
$P_{ABCD}$ — ?

Решение:
1. Рассмотрим биссектрису $AM$. $\angle BAM = \angle MAD$ (по определению биссектрисы).
2. $\angle MAD = \angle BMA$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$.
3. Следовательно, $\angle BAM = \angle BMA$, значит, $	riangle ABM$ — равнобедренный с основанием $AM$. Отсюда $AB = BM = 9$.
4. Аналогично для биссектрисы $DM$: $\angle CDM = \angle MDA$ (биссектриса), $\angle MDA = \angle DMC$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $DM$).
5. Значит, $\angle CDM = \angle DMC$, $	riangle MCD$ — равнобедренный. Т.к. в параллелограмме $CD = AB = 9$, то $MC = CD = 9$.
6. Сторона $BC = BM + MC = 9 + 9 = 18$.
7. Периметр параллелограмма: $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (9 + 18) = 2 \cdot 27 = 54$.

Ответ: 54.

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 9.

Ответ ассистента

Другие решения