На рисунке PT || BC. Докажите, что треугольники ABC и APT подобны, и найдите коэффициент k подобия, если AB = 35 см, BP = 7 см.

101 На рисунке $PT \parallel BC$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $APT$ подобны, и найдите коэффициент $k$ подобия, если $AB = 35$ см, $BP = 7$ см. Решение. 1) $\triangle ABC \sim \triangle APT$ по двум углам ($\angle A$ — общий, $\angle P = \angle B$, так как эти углы соответственные при пересечении параллельных прямых $PT$ и $BC$ и секущей $AB$). 2) Коэффициент подобия $k$ треугольников $ABC$ и $APT$ равен отношению сходственных сторон, следовательно, $k = \frac{AB}{AP}$, где $AP = AB - BP = 35 - 7 = 28$ (см). Значит, $k = 35 : 28 = 1,25$. Ответ: 1,25. 102 Точка $M$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, точка $K$ — середина стороны $AC$. $\angle MKC = \angle B$, $AC = 12$ см, $CM = 4$ см. Найдите сторону $BC$. Решение. $\triangle ABC \sim \triangle MKC$ по двум углам ($\angle C$ — общий, $\angle MKC = \angle B$ по условию), следовательно, сходственные стороны $BC$ и $KC$, $AC$ и $MC$ пропорциональны, т. е. $BC : KC = AC : MC$. По условию $KC = AC \cdot 0,5 = 12 \cdot 0,5 = 6$ (см). Подставляя числовые значения в пропорцию $BC : 6 = 12 : 4$, получаем $BC = \frac{6 \cdot 12}{4} = 18$ (см). Ответ: 18 см.