Контрольная работа № 4 по теме: «Теорема Пифагора и начала тригонометрии». Вариант 2. Задание 1: Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника.

1. По теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$: $c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ **Ответ: 25 см**. 2. Пусть неизвестная сторона — $a$, диагональ — $c = 17$, известная сторона — $b = 15$. По теореме Пифагора $a = \sqrt{c^2 - b^2}$: $a = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ **Ответ: 8**. 3. Пусть неизвестный катет — $a$, гипотенуза — $c = 20$, известный катет — $b = 16$. По теореме Пифагора: $a = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ **Ответ: 12 дм**. 4. В прямоугольном треугольнике с прямым углом $C$: $\sin A = \frac{BC}{AB}$, $\cos A = \frac{AC}{AB}$, $\tan A = \frac{BC}{AC}$ $\sin B = \frac{AC}{AB}$, $\cos B = \frac{BC}{AB}$, $\tan B = \frac{AC}{BC}$ а) $AC=3, AB=5, BC=\sqrt{5^2-3^2}=4$ $\sin A = 0,8; \cos A = 0,6; \tan A = \frac{4}{3}$ $\sin B = 0,6; \cos B = 0,8; \tan B = \frac{3}{4}$ б) $AC=10, BC=8, AB=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$ $\sin A = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}; \cos A = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}; \tan A = 0,8$ $\sin B = \frac{5}{\sqrt{41}}; \cos B = \frac{4}{\sqrt{41}}; \tan B = 1,25$ в) $BC=3\sqrt{3}, AB=6\sqrt{2}, AC=\sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{72 - 27} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ $\sin A = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}; \cos A = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}; \tan A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$ $\sin B = \frac{\sqrt{10}}{4}; \cos B = \frac{\sqrt{6}}{4}; \tan B = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ 5. В прямоугольном треугольнике катет $b$, противолежащий углу $B$: $c = \frac{b}{\sin B}$, другой катет $a = \frac{b}{\tan B}$ а) $b=20, \angle B=45^\circ$: $c = \frac{20}{\sin 45^\circ} = \frac{20}{\sqrt{2}/2} = 20\sqrt{2}$ $a = \frac{20}{\tan 45^\circ} = \frac{20}{1} = 20$ б) $b=10, \angle B=60^\circ$: $c = \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ $a = \frac{10}{\tan 60^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ в) $b=4\sqrt{3}, \angle B=30^\circ$: $c = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{1/2} = 8\sqrt{3}$ $a = \frac{4\sqrt{3}}{\tan 30^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 12$