Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника.

Пусть в остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ стороны $AC = A_1C_1$. Проведём высоты $AH$ к стороне $BC$ и $CP$ к стороне $AB$ в первом треугольнике, и $A_1H_1$, $C_1P_1$ — во втором. По условию $AH = A_1H_1$ и $CP = C_1P_1$. 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $APC$ и $A_1P_1C_1$ ($∠P = ∠P_1 = 90^∘$). В них гипотенузы $AC = A_1C_1$ и катеты $CP = C_1P_1$. Значит, $ riangle APC = riangle A_1P_1C_1$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что $∠A = ∠A_1$. 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AHC$ и $A_1H_1C_1$ ($∠H = ∠H_1 = 90^∘$). В них гипотенузы $AC = A_1C_1$ и катеты $AH = A_1H_1$. Значит, $ riangle AHC = riangle A_1H_1C_1$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что $∠C = ∠C_1$. 3. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. В них: - $AC = A_1C_1$ (по условию); - $∠A = ∠A_1$ (доказано в п. 1); - $∠C = ∠C_1$ (доказано в п. 2). Следовательно, $ riangle ABC = riangle A_1B_1C_1$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). **Что и требовалось доказать.**