Question

Вариант II. №1 Какие квадратные трехчлены можно разложить на множители: а) 2x² - 3x - 2 б) x² - x + 12 в) 9x² + 6x + 1? №2 Разложите квадратный трехчлен на множители... №3 Сократите дробь...

Accepted Answer

№1 Какие квадратные трехчлены можно разложить на множители:
Квадратный трехчлен $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).

а) $2x^2 - 3x - 2$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 > 0$ — можно.
б) $x^2 - x + 12$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47 < 0$ — нельзя.
в) $9x^2 + 6x + 1$: $D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$ — можно (это полный квадрат $(3x+1)^2$).

Ответ: а, в.

№2 Разложите квадратный трехчлен на множители:
Для разложения используем формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

а) $x^2 - 11x + 24$
$D = 121 - 96 = 25$; $x_1 = \frac{11+5}{2} = 8$, $x_2 = \frac{11-5}{2} = 3$
Ответ: $(x - 8)(x - 3)$

б) $x^2 - 6x - 27$
$D = 36 - 4 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$; $x_1 = \frac{6+12}{2} = 9$, $x_2 = \frac{6-12}{2} = -3$
Ответ: $(x - 9)(x + 3)$

в) $2x^2 - 7x - 4$
$D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$; $x_1 = \frac{7+9}{4} = 4$, $x_2 = \frac{7-9}{4} = -0,5$
Ответ: $2(x - 4)(x + 0,5) = (x - 4)(2x + 1)$

г) $2x^2 - 12x + 16$
Вынесем 2 за скобки: $2(x^2 - 6x + 8)$. Корни $x^2 - 6x + 8$: $x_1 = 4$, $x_2 = 2$
Ответ: $2(x - 4)(x - 2)$

№3 Сократите дробь:
а) $\frac{3x^2 - 7x + 2}{9x^2 - 1}$
Разложим числитель: $D = 49 - 24 = 25$; $x_1 = \frac{7+5}{6} = 2$, $x_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{1}{3}$. Тогда $3x^2 - 7x + 2 = 3(x - 2)(x - \frac{1}{3}) = (x - 2)(3x - 1)$.
Знаменатель: $9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)$.
$\frac{(x - 2)(3x - 1)}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{x - 2}{3x + 1}$
Ответ: $\frac{x - 2}{3x + 1}$

б) $\frac{4x^2 + 7x - 2}{12x - 3}$
Числитель: $D = 49 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$; $x_1 = \frac{-7+9}{8} = 0,25 = \frac{1}{4}$, $x_2 = \frac{-7-9}{8} = -2$.
$4x^2 + 7x - 2 = 4(x - \frac{1}{4})(x + 2) = (4x - 1)(x + 2)$.
Знаменатель: $12x - 3 = 3(4x - 1)$.
$\frac{(4x - 1)(x + 2)}{3(4x - 1)} = \frac{x + 2}{3}$
Ответ: $\frac{x + 2}{3}$

Ответ ассистента

Другие решения