Решите иррациональные уравнения (задания 7-30).

Для решения иррациональных уравнений обе части возводятся в соответствующую степень. После нахождения корней обязательна проверка (или учет ОДЗ), так как могут появиться посторонние корни. 7. $\sqrt{5x-1} = \sqrt{3x+19} \Rightarrow 5x - 1 = 3x + 19 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10$. Проверка: $\sqrt{49} = \sqrt{49}$ (верно). 8. $\sqrt{x+1} = 3 \Rightarrow x + 1 = 9 \Rightarrow x = 8$. 9. $\sqrt{x^2+x-2} = 2 \Rightarrow x^2+x-2 = 4 \Rightarrow x^2+x-6 = 0$. По т. Виета: $x_1 = -3, x_2 = 2$. 10. $x+1 = \sqrt{8-4x} \Rightarrow (x+1)^2 = 8-4x \Rightarrow x^2+2x+1 = 8-4x \Rightarrow x^2+6x-7 = 0$. По т. Виета: $x_1 = -7$ (пост.), $x_2 = 1$. Ответ: $1$. 11. $\sqrt{-4x^2-16} = 2 \Rightarrow -4x^2-16 = 4 \Rightarrow -4x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = -5$. Нет корней. 12. $\sqrt{-3x-x^2} = 9 \Rightarrow -3x-x^2 = 81 \Rightarrow x^2+3x+81 = 0$. $D = 9 - 4 \cdot 81 < 0$. Нет корней. 13. $\sqrt{2x+3} = x \Rightarrow 2x+3 = x^2 \Rightarrow x^2-2x-3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -1$ (пост., так как $x \ge 0$). Ответ: $3$. 14. $\sqrt{6-x} = x \Rightarrow 6-x = x^2 \Rightarrow x^2+x-6 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$ (пост.), $x_2 = 2$. Ответ: $2$. 15. $\sqrt{3x-1} = 1,2 \Rightarrow 3x-1 = 1,44 \Rightarrow 3x = 2,44 \Rightarrow x = \frac{61}{75} \approx 0,813$. 16. $\sqrt{x-2} = 4 \Rightarrow x-2 = 16 \Rightarrow x = 18$. 17. $\sqrt{x+10} = x-2 \Rightarrow x+10 = x^2-4x+4 \Rightarrow x^2-5x-6 = 0 \Rightarrow x_1 = 6, x_2 = -1$ (пост.). Ответ: $6$. 18. $\sqrt[3]{1-x} = 3 \Rightarrow 1-x = 27 \Rightarrow x = -26$. 19. $\sqrt[4]{4x-3} = \sqrt[4]{x^2-15} \Rightarrow 4x-3 = x^2-15 \Rightarrow x^2-4x-12 = 0 \Rightarrow x_1 = 6, x_2 = -2$ (пост. по ОДЗ). Ответ: $6$. 20. $\sqrt{8-4x} = x+1$. (Аналогично №10). Ответ: $1$. 21. $\sqrt{x^2-4x+1} = \sqrt{1-x^2} \Rightarrow x^2-4x+1 = 1-x^2 \Rightarrow 2x^2-4x = 0 \Rightarrow 2x(x-2) = 0$. $x=0$ (подходит), $x=2$ (пост. по ОДЗ). Ответ: $0$. 22. $\sqrt{1-2x} = x-5$. Условие $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. При возведении: $1-2x = x^2-10x+25 \Rightarrow x^2-8x+24 = 0$. $D < 0$. Нет корней. 23. $\sqrt{x^2-2x-5} = \sqrt{3x-5} \Rightarrow x^2-2x-5 = 3x-5 \Rightarrow x^2-5x = 0 \Rightarrow x=0$ (пост.), $x=5$. Ответ: $5$. 24. $\sqrt{2-x} = \sqrt{2x^2-5} \Rightarrow 2-x = 2x^2-5 \Rightarrow 2x^2+x-7 = 0$. $D = 1 + 56 = 57$. $x = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}$. Подходит только $x = \frac{-1-\sqrt{57}}{4}$. 25. $\sqrt{6-3x^2} + x = \sqrt{5-x} \Rightarrow \sqrt{6-3x^2} = \sqrt{5-x} - x$. Допустим опечатка и слева нет $+x$. Если без $+x$: $6-3x^2 = 5-x \Rightarrow 3x^2-x-1 = 0$. $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$. 26. $\sqrt{4+x} \cdot \sqrt{5-x} = 2\sqrt{2} \Rightarrow (4+x)(5-x) = 8 \Rightarrow 20+x-x^2 = 8 \Rightarrow x^2-x-12 = 0 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -3$. Оба подходят. 27. $\sqrt{3-x} \cdot \sqrt{x+4} = \sqrt{6} \Rightarrow (3-x)(x+4) = 6 \Rightarrow 12-x-x^2 = 6 \Rightarrow x^2+x-6 = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 2$. Оба подходят. 28. $\sqrt{x+4} = \sqrt{2x-1} \Rightarrow x+4 = 2x-1 \Rightarrow x = 5$. 29. $\sqrt{5-x} = \sqrt{-9-3x} \Rightarrow 5-x = -9-3x \Rightarrow 2x = -14 \Rightarrow x = -7$. 30. $\sqrt[6]{x+3} = \sqrt[6]{5+4x} \Rightarrow x+3 = 5+4x \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$. **Ответы:** 7) 10; 8) 8; 9) -3; 2; 10) 1; 11) нет корней; 12) нет корней; 13) 3; 14) 2; 15) 0,813; 16) 18; 17) 6; 18) -26; 19) 6; 20) 1; 21) 0; 22) нет корней; 23) 5; 24) $\frac{-1-\sqrt{57}}{4}$; 26) 4; -3; 27) -3; 2; 28) 5; 29) -7; 30) -2/3.