Контрольная работа №9 по теме «Подобные треугольники», I-вариант.

1) Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle MKC$. По условию $\angle ACB = \angle MCK$ (как вертикальные) и $\angle BAC = \angle KMC = 90^{\circ}$ (по чертежу). Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle MKC$ по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AB}{MK} = \frac{AC}{MC} \Rightarrow \frac{8}{x} = \frac{12}{6}$ $12x = 48$ $x = 4$ **Ответ: 4**. 2) В прямоугольном $\triangle FKM$ отрезок, параллельный катету, отсекает подобный треугольник. $\triangle FKM \sim \triangle LNM$ (по двум углам: $\angle M$ — общий, $\angle F = \angle L = 90^{\circ}$). Коэффициент подобия по катетам: $k = \frac{FM}{LM} = \frac{14 + 7}{7} = \frac{21}{7} = 3$. Тогда $FK = 3 \cdot LN = 3 \cdot 9 = 27$. **Ответ: 27**. 3) Рассмотрим $\triangle ABC$. Прямая $RH \perp AC$ и $BA \perp AC$, значит $RH \parallel BA$. $\triangle ABC \sim \triangle RHC$ по двум углам ($\angle C$ — общий, $\angle A = \angle RHC = 90^{\circ}$). $AC = AH + HC = 20 + 8 = 28$. Из подобия: $\frac{AB}{RH} = \frac{AC}{HC} \Rightarrow \frac{y}{10} = \frac{28}{8}$ $y = \frac{10 \cdot 28}{8} = \frac{280}{8} = 35$. **Ответ: 35**. 4) При пересечении диагоналей трапеции $ABCD$ ($AB \parallel CD$) образуются подобные треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ (по двум углам: $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные, $\angle OAB = \angle OCD$ как накрест лежащие). $\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD} \Rightarrow \frac{AB}{25} = \frac{4}{10}$ $AB = \frac{25 \cdot 4}{10} = \frac{100}{10} = 10$ см. **Ответ: 10 см**. 5) У любого равностороннего треугольника все три угла равны $60^{\circ}$ ($180^{\circ} / 3 = 60^{\circ}$). Так как у двух любых равносторонних треугольников соответствующие углы равны ($60^{\circ}$ и $60^{\circ}$), они подобны по первому признаку подобия (по двум углам).