В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 80°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 70°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Для решения этих задач воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции: 1. Углы при основании равны ($∠A = ∠D$). 2. Основания параллельны ($BC ∥ AD$), следовательно, накрест лежащие углы при секущей-диагонали равны ($∠CAD = ∠ACB$). **Задание 15** $∠D = 80^∘ → ∠A = 80^∘$. $∠ACD = 70^∘$. В $ riangle ACD$ сумма углов $180^∘$: $∠CAD = 180^∘ - ∠D - ∠ACD = 180^∘ - 80^∘ - 70^∘ = 30^∘$. Так как $BC ∥ AD$, то $∠BCA = ∠CAD = 30^∘$. **Ответ: 30** **Задание 21** $∠D = 62^∘ → ∠A = 62^∘$. $AC$ — биссектриса $∠A$, значит $∠CAD = ∠A : 2 = 62^∘ : 2 = 31^∘$. В $ riangle ACD$ сумма углов $180^∘$: $∠ACD = 180^∘ - ∠D - ∠CAD = 180^∘ - 62^∘ - 31^∘ = 87^∘$. **Ответ: 87** **Задание 31** Пусть углы между диагональю и боковыми сторонами равны $28^∘$ и $82^∘$. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^∘$. Угол при большем основании $∠A$ состоит из двух частей, одна из которых равна углу при меньшем основании из-за параллельности. В равнобедренной трапеции угол при основании равен сумме углов, которые диагональ образует с боковой стороной и основанием. В данном типе задач угол при основании равен сумме данных углов: $28^∘ + 82^∘ = 110^∘$ (если это углы $∠BAC$ и $∠BCA$). Однако стандартная трактовка таких задач ОГЭ: углы треугольника, образованного диагональю и боковой стороной. Если $28^∘$ и $82^∘$ — углы в треугольнике с боковой стороной, то третий угол (угол при основании) равен $180^∘ - (28^∘ + 82^∘) = 70^∘$. **Ответ: 70** **Задание 41** Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший — полусумме (средней линии). Меньшее основание $b$ вычисляется по формуле: $b = a_{large} - 2 × x_{small}$, где $x_{small}$ — меньший отрезок. Отрезки основания: $2$ и $6$. Большее основание $AD = 2 + 6 = 8$. Меньшее основание $BC = 6 - 2 = 4$. **Ответ: 4** **Задание 53** В прямоугольном треугольнике, образованном высотой и частью основания, если угол $45^∘$, то катеты равны. Высота $h$ делит основание на отрезки $4$ и $7$. Меньший отрезок $x = (7+4-BC)/2 = 4$. Так как угол $45^∘$, высота $h$ равна этому отрезку: $h = 4$. **Ответ: 4**