1. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого.

1. Пусть $x$ — меньшее число, тогда $(x + 8)$ — большее число. $x(x + 8) = 273$ $x^2 + 8x - 273 = 0$ $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-273) = 64 + 1092 = 1156 = 34^2$ $x_1 = \frac{-8 + 34}{2} = 13$; $x_2 = \frac{-8 - 34}{2} = -21$ (не подходит, так как числа натуральные). Если $x = 13$, то $x + 8 = 13 + 8 = 21$. **Ответ: 13 и 21**. 2. Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. Периметр $P = 2(a + b) = 94$, значит $a + b = 47$, отсюда $b = 47 - a$. Площадь $S = a \cdot b = 480$. $a(47 - a) = 480$ $47a - a^2 = 480$ $a^2 - 47a + 480 = 0$ $D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 = 2209 - 1920 = 289 = 17^2$ $a_1 = \frac{47 + 17}{2} = 32$; $a_2 = \frac{47 - 17}{2} = 15$. Если одна сторона 32 дм, то вторая $47 - 32 = 15$ дм. **Ответ: 15 дм и 32 дм**. 3. Пусть $a$ и $b$ — катеты. По условию $a + b = 46$, тогда $b = 46 - a$. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. $a^2 + (46 - a)^2 = 34^2$ $a^2 + 2116 - 92a + a^2 = 1156$ $2a^2 - 92a + 960 = 0$ (разделим на 2) $a^2 - 46a + 480 = 0$ $D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 = 2116 - 1920 = 196 = 14^2$ $a_1 = \frac{46 + 14}{2} = 30$; $a_2 = \frac{46 - 14}{2} = 16$. Если один катет 30 см, то второй $46 - 30 = 16$ см. **Ответ: 16 см и 30 см**.