22. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 3, а угол между ними равен 20°. Докажите, что основание треугольника больше 1. 23. В равнобедренном треугольнике ABC провели биссектрису AE к его боковой стороне. Докажите, что AE < 2 * CE.

22. Пусть $a = 3$ — боковые стороны, $\alpha = 20^{\circ}$ — угол между ними, $b$ — основание. По теореме косинусов: $b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos 20^{\circ} = 2a^2(1 - \cos 20^{\circ}) = 4a^2 \sin^2 10^{\circ}$ $b = 2a \sin 10^{\circ} = 2 \cdot 3 \cdot \sin 10^{\circ} = 6 \sin 10^{\circ}$ Так как для малых углов в радианах $\sin x \approx x$, а $10^{\circ} = \frac{\pi}{18} \approx \frac{3,14}{18} \approx 0,174$, то $6 \cdot 0,174 = 1,044 > 1$. Также можно заметить, что $\sin 10^{\circ} > \sin 9,6^{\circ} \approx \frac{1}{6}$, следовательно $6 \sin 10^{\circ} > 1$. Основание больше 1. 23. Пусть $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$, тогда $\angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha$. Так как $AE$ — биссектриса, то $\angle CAE = \frac{\alpha}{2}$. В $\triangle ACE$ по теореме синусов: $\frac{AE}{\sin \alpha} = \frac{CE}{\sin \frac{\alpha}{2}}$ $AE = CE \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = CE \cdot \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = 2 \cdot CE \cdot \cos \frac{\alpha}{2}$ Так как $\alpha$ — угол при основании равнобедренного треугольника, то $0 < \alpha < 90^{\circ}$, значит $0 < \frac{\alpha}{2} < 45^{\circ}$. Следовательно, $\cos \frac{\alpha}{2} < 1$. Тогда $AE = 2 \cdot CE \cdot \cos \frac{\alpha}{2} < 2 \cdot CE \cdot 1$, то есть $AE < 2 \cdot CE$.