1. Найдите критические точки функции а) y = 12x - x³ б) y = 2sinx - x

1. Чтобы найти критические точки, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю: а) $y' = (12x - x^3)' = 12 - 3x^2$; $12 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. б) $y' = (2\sin x - x)' = 2\cos x - 1$; $2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2. Исследуем через первую производную: $y' = 3x^2 - 8x + 5$; $3x^2 - 8x + 5 = 0 \Rightarrow D = 64 - 60 = 4$; $x_1 = \frac{8-2}{6} = 1, x_2 = \frac{8+2}{6} = \frac{5}{3} \approx 1,67$. На интервалах: $(-\infty; 1)$ производная $> 0$ (возрастает); $(1; 1,67)$ производная $< 0$ (убывает); $(1,67; +\infty)$ производная $> 0$ (возрастает). Экстремумы: $x_{max} = 1$ ($y(1) = 1$); $x_{min} = \frac{5}{3}$ ($y(\frac{5}{3}) = \frac{125}{27} - \frac{100}{9} + \frac{25}{3} - 1 = \frac{22}{27} \approx 0,81$). 3. Исследуем через вторую производную: $y' = 12x^3 - 24x^2 + 12x - 5$; $y'' = 36x^2 - 48x + 12$; $36x^2 - 48x + 12 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{3}$. Интервалы выпуклости/вогнутости: $(-\infty; 1/3)$: $y'' > 0$ — вогнутая (выпукла вниз); $(1/3; 1)$: $y'' < 0$ — выпуклая (выпукла вверх); $(1; +\infty)$: $y'' > 0$ — вогнутая (выпукла вниз). Точки перегиба: $x = 1/3$ и $x = 1$. 4. Исследование функций: а) $y = x^3 - 3x$. Нечетная. Нули: $x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm \sqrt{3}$. $y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. Максимум при $x = -1$ ($y=2$), минимум при $x = 1$ ($y=-2$). :::div .chart-container @chart-1::: б) $y = -\frac{1}{3}x^3 + 4x$. Нечетная. Нули: $x(-\frac{1}{3}x^2 + 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm \sqrt{12} \approx \pm 3,46$. $y' = -x^2 + 4 = -(x-2)(x+2)$. Минимум при $x = -2$ ($y \approx -5,33$), максимум при $x = 2$ ($y \approx 5,33$). :::div .chart-container @chart-2:::