В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 4.

1. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $AM$ — биссектриса угла $A$, то $\angle BAM = \angle DAM = 60^\circ : 2 = 30^\circ$. 2. В параллелограмме $AD \parallel BC$, значит $\angle BMA = \angle MAD = 30^\circ$ (как накрест лежащие углы). 3. В треугольнике $ABM$ два угла равны ($\angle BAM = \angle BMA = 30^\circ$), следовательно, треугольник $ABM$ — равнобедренный, и $AB = BM = 4$. 4. По условию $AM \perp DM$, значит треугольник $AMD$ — прямоугольный ($\angle AMD = 90^\circ$). 5. В прямоугольном треугольнике $AMD$ угол $\angle MAD = 30^\circ$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Но удобнее найти гипотенузу через косинус: $AD = \frac{AM}{\cos 30^\circ}$ или через углы. В треугольнике $AMD$: $\angle ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 6. Рассмотрим треугольник $MCD$. $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (соседние углы параллелограмма). $\angle CMD = \angle MDA = 60^\circ$ (накрест лежащие при $AD \parallel BC$). Тогда $\angle MDC = 180^\circ - 120^\circ - 60^\circ = 0^\circ$, что невозможно. Пересмотрим положение точки $M$. 7. Так как $AM \perp DM$ и биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом, $DM$ является биссектрисой угла $D$. 8. Тогда $\angle MDC = \angle MDA = \angle ADC : 2 = 120^\circ : 2 = 60^\circ$. 9. В треугольнике $MCD$: $\angle MCD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $\angle CMD = \angle MDA = 60^\circ$ (накрест лежащие). Сумма углов: $120^\circ + 60^\circ + \angle MDC = 180^\circ$, откуда $\angle MDC = 0^\circ$. Это означает, что точка $M$ совпадает с вершиной $C$. 10. Если $M$ совпадает с $C$, то $BC = BM = 4$. Тогда $AD = BC = 4$. 11. Периметр $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (4 + 4) = 16$. **Ответ: 16**.