На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисован треугольник ABC. Найдите сумму углов ABC и ACB. Ответ дайте в градусах.

1. В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ лежит на горизонтальной линии сетки и равна 4 клеткам. Высота из вершины $B$ на сторону $AC$ равна 4 клеткам и попадает в точку $A$. Значит, $\angle BAC = 90^{\circ}$. Тогда сумма двух других углов треугольника: $\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. **Ответ: 90** 2. Проведём отрезки $AB$, $BC$ и $AC$. Заметим, что $AB$ — диагональ прямоугольника $1 \times 2$, $BC$ — диагональ прямоугольника $2 \times 1$. Отрезок $AC$ — диагональ квадрата $3 \times 3$. По теореме Пифагора: $AB^2 = 1^2 + 2^2 = 5$ $BC^2 = 2^2 + 1^2 = 5$ $AC^2 = 3^2 + 3^2 = 18$ Так как $AB = BC$, треугольник равнобедренный. Угол $\angle ABC$ можно найти через векторы или достроив до прямоугольного треугольника. Заметим, что тангенс угла наклона $AB$ равен $2$, а $BC$ равен $-0,5$. Произведение тангенсов $2 \cdot (-0,5) = -1$, что означает перпендикулярность прямых. **Ответ: 90** 3. В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 3$ (горизонтально), высота из $B$ к прямой $AC$ равна 4. Треугольник прямоугольный ($\angle BAC = 90^{\circ}$), так как вершина $B$ находится строго над $A$. Сумма углов $\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. **Ответ: 90** 4. Соединим точки. $AB$ — гипотенуза треугольника с катетами 1 и 1. $BC$ — гипотенуза треугольника с катетами 2 и 2. Отрезок $AC$ проходит через узлы сетки и является гипотенузой треугольника с катетами 1 и 3. Проверим углы: вектор $\vec{BA} = (1; 1)$, вектор $\vec{BC} = (2; -2)$. Скалярное произведение: $1\cdot 2 + 1\cdot(-2) = 0$. Значит, угол между ними $90^{\circ}$. **Ответ: 90** 5. Аналогично задаче 1: $\angle BAC = 90^{\circ}$, так как катет $AC$ горизонтален, а катет $AB$ вертикален. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. **Ответ: 90** 6. Периметр $ABCD$: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$. $AB=3, BC=3, CD=3, AD=3$. Это квадрат, $P = 12$. Периметр $ADEF$: $AD=3, DE=2, EF=3, FA=2$. Это прямоугольник, $P = 2 + 3 + 2 + 3 = 10$. Разность: $12 - 10 = 2$. **Ответ: 2** 7. Периметр $ABCD$: $AB=4, BC=3, CD=4, AD=3$. $P = (4+3)\cdot 2 = 14$. Периметр $ADEF$: $AD=3, DE=1, EF=3, FA=1$. $P = (3+1)\cdot 2 = 8$. Разность: $14 - 8 = 6$. **Ответ: 6**