В группе 51 человек, среди них Алексей и Пётр. Группу разбивают случайным образом на 3 равные по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Алексей и Пётр попадут в одну группу.

1. Всего в каждой подгруппе $51 : 3 = 17$ мест. Пусть Алексей уже занял место в одной из групп. Тогда осталось $50$ свободных мест, из которых $16$ находятся в той же группе, где Алексей. Вероятность того, что Пётр попадёт в ту же группу: $P = \frac{16}{50} = 0,32$. **Ответ: 0,32** 2. Пусть одна девочка уже заняла стул. Осталось $200$ свободных стульев. Чтобы между девочками сидел ровно один мальчик, вторая девочка должна занять место через одно от первой (слева или справа). Таких подходящих мест $2$. Вероятность: $P = \frac{2}{200} = 0,01$. **Ответ: 0,01** 3. Группы из Дании (Д), Швеции (Ш) и Норвегии (Н) могут расположиться относительно друг друга в $3! = 6$ равновозможных порядках: (Д, Ш, Н), (Д, Н, Ш), (Ш, Д, Н), (Н, Д, Ш), (Ш, Н, Д), (Н, Ш, Д). Условию «Дания после Швеции и после Норвегии» соответствует только 1 вариант: (Ш, Н, Д) или (Н, Ш, Д) — это ошибка в рассуждении, так как Швеция и Норвегия могут быть в любом порядке перед Данией. Всего перестановок 3-х элементов 6, а благоприятный случай, когда Дания последняя из этой тройки — это 2 варианта: (Ш, Н, Д) и (Н, Ш, Д). $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. **Ответ: 1/3** 4. В каждой игре вероятность того, что «Статор» начнёт первым (выиграет жребий), равна $0,5$. События независимы. Вероятность того, что «Статор» начнёт 1-ю игру (да), 2-ю (нет) и 3-ю (да): $P = 0,5 \cdot (1 - 0,5) \cdot 0,5 = 0,5^3 = 0,125$. **Ответ: 0,125** 5. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна $1$: $P(a) + P(b) + P(c) + P(d) + P(e) = 1$. $0,2 + 0,1 + 0,3 + P(d) + P(e) = 1 \Rightarrow P(d) + P(e) = 0,4$. По условию $P(e) = P(d) - 0,1$. Подставим: $P(d) + P(d) - 0,1 = 0,4 \Rightarrow 2P(d) = 0,5 \Rightarrow P(d) = 0,25$. Тогда $P(e) = 0,25 - 0,1 = 0,15$. **Ответ: P(d) = 0,25; P(e) = 0,15** 6. Дано: 1) $P(a) + P(b) = 0,3$ 2) $P(a) + P(c) = 0,8$ 3) $P(a) + P(b) + P(c) = 1$ (так как это все возможные события). Вычтем (1) из (3): $P(c) = 1 - 0,3 = 0,7$. Из (2): $P(a) = 0,8 - P(c) = 0,8 - 0,7 = 0,1$. Из (1): $P(b) = 0,3 - P(a) = 0,3 - 0,1 = 0,2$. **Ответ: P(a) = 0,1; P(b) = 0,2; P(c) = 0,7**