Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Для доказательства того, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны, воспользуемся уже доказанной в задаче формуле для квадрата медианы: $4AM^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$. Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AC = BC$. Проведём медианы $AA_1$ к стороне $BC$ и $BB_1$ к стороне $AC$. 1. Для медианы $AA_1$ (проведена к стороне $BC$ из вершины $A$): В этой формуле роль сторон, между которыми выходит медиана, играют $AB$ и $AC$. Угол между ними — $\angle A$. $4AA_1^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$ 2. Для медианы $BB_1$ (проведена к стороне $AC$ из вершины $B$): Здесь медиана выходит из вершины $B$ между сторонами $BA$ и $BC$. Угол между ними — $\angle B$. $4BB_1^2 = BA^2 + BC^2 + 2BA \cdot BC \cdot \cos B$ 3. Сравним выражения: - Так как треугольник равнобедренный с основанием $AB$, то стороны $AC = BC$. - Углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. - Сторона $AB = BA$ (общая). Подставим эти равенства в выражение для $4BB_1^2$: $4BB_1^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB \cdot AC \cdot \cos A$ Видим, что правые части выражений для $4AA_1^2$ и $4BB_1^2$ идентичны. Следовательно, $4AA_1^2 = 4BB_1^2 \Rightarrow AA_1^2 = BB_1^2 \Rightarrow AA_1 = BB_1$. Медианы равны.