15. Водитель планировал проехать путь из пункта А в пункт В за 4 часа, двигаясь со скоростью 70 км/ч. Однако через некоторое время после начала поездки случилась вынужденная остановка на 40 минут. Чтобы компенсировать задержку, на оставшемся участке пути водитель увеличил скорость до 90 км/ч и прибыл в пункт В вовремя. На каком расстоянии от пункта А была сделана вынужденная остановка? 16. В треугольнике ABC угол ACB равен 53°, AD — биссектриса, угол CAD равен 24°. Найдите величину угла ABC.

15. **Решение:** 1) Найдём общее расстояние от пункта А до пункта В: $S = v \cdot t = 70 \cdot 4 = 280$ (км). 2) Пусть $x$ — расстояние от пункта А до места остановки. Время, затраченное на этот путь: $t_1 = \frac{x}{70}$ (ч). 3) Оставшееся расстояние: $S_{ост} = 280 - x$. Время на его преодоление с новой скоростью: $t_2 = \frac{280 - x}{90}$ (ч). 4) Общее время в пути складывается из времени до остановки, самой остановки ($40$ мин $= \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ ч) и времени после неё. По условию водитель прибыл вовремя, то есть за 4 часа: $\frac{x}{70} + \frac{2}{3} + \frac{280 - x}{90} = 4$ 5) Решим уравнение, умножив все части на $630$ (общий знаменатель): $9x + 420 + 7(280 - x) = 2520$ $9x + 420 + 1960 - 7x = 2520$ $2x + 2380 = 2520$ $2x = 2520 - 2380$ $2x = 140$ $x = 70$ (км). **Ответ: 70 км.** 16. **Решение:** 1) Так как $AD$ — биссектриса, она делит угол $A$ пополам. Значит, $\angle BAC = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 24^{\circ} = 48^{\circ}$. 2) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. В треугольнике $ABC$ нам известны два угла: $\angle BAC = 48^{\circ}$ и $\angle ACB = 53^{\circ}$. 3) Найдём третий угол $\angle ABC$: $\angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 53^{\circ}) = 180^{\circ} - 101^{\circ} = 79^{\circ}$. **Ответ: 79°.**