Самостоятельная работа «Сумма углов треугольника». 1) Найдите угол треугольника, если два других угла равны 31° и 24°.

1) Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $180^{\circ} - (31^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}$. **Ответ: $125^{\circ}$**. 2) Пусть одна часть равна $x$. Тогда углы равны $2x$, $7x$ и $9x$. $2x + 7x + 9x = 180^{\circ} \Rightarrow 18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$. Углы: $2 \cdot 10^{\circ} = 20^{\circ}$, $7 \cdot 10^{\circ} = 70^{\circ}$, $9 \cdot 10^{\circ} = 90^{\circ}$. **Ответ: $20^{\circ}, 70^{\circ}, 90^{\circ}$**. 3) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, второй угол при основании тоже $29^{\circ}$. Угол при вершине: $180^{\circ} - (29^{\circ} + 29^{\circ}) = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$. **Ответ: $29^{\circ}, 122^{\circ}$**. 4) Пусть угол при основании равен $x$, тогда угол при вершине — $7x$. Так как углы при основании равны, то: $x + x + 7x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$. Углы при основании: $20^{\circ}$ и $20^{\circ}$. Угол при вершине: $7 \cdot 20^{\circ} = 140^{\circ}$. **Ответ: $20^{\circ}, 20^{\circ}, 140^{\circ}$**. 5) Биссектриса делит угол $120^{\circ}$ пополам: $120^{\circ} : 2 = 60^{\circ}$. Высота образует с биссектрисой угол $20^{\circ}$. Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, угол между высотой и стороной треугольника равен либо $60^{\circ} - 20^{\circ} = 40^{\circ}$, либо $60^{\circ} + 20^{\circ} = 80^{\circ}$ (что невозможно, так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов $90^{\circ}$ и один из углов исходного треугольника стал бы тупым). Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом $40^{\circ}$: один из углов исходного треугольника будет $90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. Третий угол исходного треугольника: $180^{\circ} - (120^{\circ} + 50^{\circ}) = 10^{\circ}$. **Ответ: $10^{\circ}$ и $50^{\circ}$**.