Работа 9.4. «Смысл производной». 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y=y(x) в точке x₀. 2. Найти тангенс угла между касательной к графику функции y=y(x) в точке x₀ и осью x.

Для решения этих задач воспользуемся геометрическим смыслом производной: угловой коэффициент касательной $k$ и тангенс угла наклона $\operatorname{tg} \alpha$ равны значению производной функции в точке касания $x_0$, то есть $k = \operatorname{tg} \alpha = y'(x_0)$. **1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y=y(x)$ в точке $x_0$:** 1) $y = x^2$, $x_0 = -4$ $y' = 2x \Rightarrow k = y'(-4) = 2 \cdot (-4) = -8$ **Ответ:** $-8$. 2) $y = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$ $y' = \cos x \Rightarrow k = y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ **Ответ:** $0{,}5$. 3) $y = \sqrt[3]{x}$, $x_0 = 1$ $y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \Rightarrow k = y'(1) = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$ **Ответ:** $\frac{1}{3}$. 4) $y = \cos 3x$, $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ $y' = -3\sin 3x \Rightarrow k = y'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -3\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ **Ответ:** $\frac{3\sqrt{2}}{2}$. **2. Найти тангенс угла между касательной к графику функции $y=y(x)$ в точке $x_0$ и осью $x$:** 1) $y = 2 - x^5 - 2x^2$, $x_0 = -1$ $y' = -5x^4 - 4x \Rightarrow \operatorname{tg} \alpha = y'(-1) = -5(-1)^4 - 4(-1) = -5 + 4 = -1$ **Ответ:** $-1$. 2) $y = x + e^{2x-3}$, $x_0 = 1{,}5$ $y' = 1 + 2e^{2x-3} \Rightarrow \operatorname{tg} \alpha = y'(1{,}5) = 1 + 2e^{2 \cdot 1{,}5 - 3} = 1 + 2e^0 = 1 + 2 = 3$ **Ответ:** $3$. 3) $y = \frac{25}{x} + 2$, $x_0 = \frac{5}{4}$ $y' = -\frac{25}{x^2} \Rightarrow \operatorname{tg} \alpha = y'\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{25}{(5/4)^2} = -\frac{25}{25/16} = -16$ **Ответ:** $-16$. 4) $y = \sqrt{3}\cos x - x\cos\frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$ Учитывая, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $y' = -\sqrt{3}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2x}{\pi}$ $\operatorname{tg} \alpha = y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 \cdot \pi/3}{\pi} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{3} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{3} = -\frac{9 + 3\sqrt{3} - 4}{6} = -\frac{5 + 3\sqrt{3}}{6}$ **Ответ:** $-\frac{5 + 3\sqrt{3}}{6}$.