В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 5, BC = 3, AA1 = 4. а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1, считая от вершины B1.

### Задача 14.4 Введем систему координат: $A(0,0,0)$, $B(5,0,0)$, $C(5,3,0)$, $D(0,3,0)$, $A_1(0,0,4)$, $B_1(5,0,4)$, $C_1(5,3,4)$, $D_1(0,3,4)$. **а) Доказать, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$.** 1. Координаты вектора диагонали $\vec{AC_1} = (5-0, 3-0, 4-0) = (5, 3, 4)$. 2. Точка $M$ — середина $AC_1$: $M(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 2)$. 3. Плоскость $\alpha$ проходит через $M$ и перпендикулярна $\vec{AC_1}$. Её уравнение: $5(x - 2.5) + 3(y - 1.5) + 4(z - 2) = 0 \Rightarrow 5x + 3y + 4z - 25 = 0$. 4. Подставим координаты $D_1(0, 3, 4)$ в уравнение: $5(0) + 3(3) + 4(4) - 25 = 0 + 9 + 16 - 25 = 0$. Равенство верно, точка $D_1$ лежит в плоскости $\alpha$. **б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$, считая от вершины $B_1$.** 1. Прямая $A_1B_1$ задается уравнениями: $y = 0, z = 4$. Подставим в уравнение плоскости: $5x + 3(0) + 4(4) - 25 = 0 \Rightarrow 5x + 16 - 25 = 0 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x = 1.8$. 2. Точка пересечения $K(1.8, 0, 4)$. 3. Координаты концов ребра: $B_1(5, 0, 4)$ и $A_1(0, 0, 4)$. 4. Длина $B_1K = |1.8 - 5| = 3.2$. Длина $KA_1 = |0 - 1.8| = 1.8$. 5. Отношение $B_1K : KA_1 = 3.2 : 1.8 = 32 : 18 = 16 : 9$. **Ответ: 16 : 9** --- ### Задача 14.5 **а) Доказать, что грань $ABCD$ — квадрат.** 1. Так как $AC \parallel \alpha$, то сечение проходит через прямую $BD_1$ параллельно $AC$. Проведем через точку $O$ (центр основания, середина $BD$) прямую, параллельную $AC$ — это будет сама диагональ $AC$, если бы она лежала в плоскости. Но плоскость проходит через $BD_1$. 2. Сечение — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны. Одной диагональю является $BD_1$. Чтобы сечение было ромбом, проекция $BD_1$ на плоскость основания (диагональ $BD$) должна быть перпендикулярна другой диагонали сечения, которая параллельна $AC$. Значит, $BD \perp AC$. 3. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали перпендикулярны только если это квадрат. **б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 10, AB = 12$.** 1. Пусть $A(0,0,0), B(12,0,0), C(12,12,0), D(0,12,0), B_1(12,0,10), D_1(0,12,10)$. 2. Плоскость $\alpha$ проходит через $BD_1$ и параллельна $AC$. Вектор $\vec{BD_1} = (-12, 12, 10)$, вектор $\vec{AC} = (12, 12, 0)$. 3. Нормаль к $\alpha$: $\vec{n_1} = \vec{BD_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -12 & 12 & 10 \\ 12 & 12 & 0 \end{vmatrix} = (-120, 120, -288)$. Сократим на $-24$: $\vec{n_1} = (5, -5, 12)$. 4. Плоскость $BCC_1$ — это боковая грань (плоскость $x = 12$). Её нормаль $\vec{n_2} = (1, 0, 0)$. 5. $\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|5 \cdot 1 + (-5) \cdot 0 + 12 \cdot 0|}{\sqrt{5^2 + (-5)^2 + 12^2} \cdot 1} = \frac{5}{\sqrt{25 + 25 + 144}} = \frac{5}{\sqrt{194}}$. **Ответ: $\arccos \frac{5}{\sqrt{194}}$**