Разложите на множители: а) 3x² + x - 14; б) -x² + 3x + 4; в) 18x² + 6x - 84; г) 4x² - x - 18; д) -t² + 4t + 5; е) 3z² + 4z - 20. Найдите наименьшее значение выражения: а) x² - 8x + 11; б) x² - 6x - 3.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, нужно найти его корни $x_1$ и $x_2$, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Формула разложения: $a(x - x_1)(x - x_2)$. **4. Разложите на множители:** а) $3x^2 + x - 14$ $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169 = 13^2$ $x_1 = \frac{-1 + 13}{6} = 2$; $x_2 = \frac{-1 - 13}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$ $3(x - 2)(x + \frac{7}{3}) = (x - 2)(3x + 7)$ б) $-x^2 + 3x + 4$ $D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ $x_1 = \frac{-3 + 5}{-2} = -1$; $x_2 = \frac{-3 - 5}{-2} = 4$ $-(x + 1)(x - 4) = (x + 1)(4 - x)$ в) $18x^2 + 6x - 84 = 6(3x^2 + x - 14)$ Используя корни из пункта (а): $x_1 = 2, x_2 = -\frac{7}{3}$ $6(x - 2)(3x + 7) / 3 \cdot 3 = 2(x - 2)(3x + 7)$ г) $4x^2 - x - 18$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18) = 1 + 288 = 289 = 17^2$ $x_1 = \frac{1 + 17}{8} = 2,25$; $x_2 = \frac{1 - 17}{8} = -2$ $4(x - 2,25)(x + 2) = (4x - 9)(x + 2)$ д) $-t^2 + 4t + 5$ $D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36 = 6^2$ $t_1 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1$; $t_2 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5$ $-(t + 1)(t - 5) = (t + 1)(5 - t)$ е) $3z^2 + 4z - 20$ $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2$ $z_1 = \frac{-4 + 16}{6} = 2$; $z_2 = \frac{-4 - 16}{6} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3}$ $3(z - 2)(z + \frac{10}{3}) = (z - 2)(3z + 10)$ **5. Найдите наименьшее значение выражения:** Для выделения полного квадрата используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Квадрат любого числа всегда $\ge 0$. а) $x^2 - 8x + 11 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 16) - 16 + 11 = (x - 4)^2 - 5$ Наименьшее значение равно $-5$ (при $x = 4$). б) $x^2 - 6x - 3 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 9) - 9 - 3 = (x - 3)^2 - 12$ Наименьшее значение равно $-12$ (при $x = 3$).