Решите уравнение: 1) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0; 2) cos x + sin(x/2) = 0; 3) 2cos² 4x - 6cos² 2x + 1 = 0; 4) tg x + 2ctg x = 3; 5) √3 tg x + 3 = 3/cos² x; 6) 4sin² x + 9ctg² x = 6.

32.4. Решите уравнение: 1) $5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 3 = 0$ Используем формулу двойного аргумента $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ для $\cos\frac{x}{3}$: $5\sin\frac{x}{6} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{6}) + 3 = 0$ $2\sin^2\frac{x}{6} + 5\sin\frac{x}{6} + 2 = 0$ Пусть $\sin\frac{x}{6} = t$, где $|t| \le 1$. Тогда $2t^2 + 5t + 2 = 0$. $D = 25 - 16 = 9$ $t_1 = \frac{-5-3}{4} = -2$ (не подходит, т.к. $|t| \le 1$) $t_2 = \frac{-5+3}{4} = -0,5$ $\sin\frac{x}{6} = -0,5 \Rightarrow \frac{x}{6} = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = (-1)^{k+1}\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = (-1)^{k+1}\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$** 2) $\cos x + \sin\frac{x}{2} = 0$ Используем $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ для $\cos x$: $1 - 2\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 0$ $2\sin^2\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} - 1 = 0$ Пусть $\sin\frac{x}{2} = t$. Тогда $2t^2 - t - 1 = 0$. $D = 1 + 8 = 9$ $t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$; $t_2 = \frac{1-3}{4} = -0,5$ 1) $\sin\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin\frac{x}{2} = -0,5 \Rightarrow \frac{x}{2} = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \pi + 4\pi k$; $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$** 3) $2\cos^2 4x - 6\cos^2 2x + 1 = 0$ Используем $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$: $2(2\cos^2 2x - 1)^2 - 6\cos^2 2x + 1 = 0$ Пусть $\cos^2 2x = t$, $0 \le t \le 1$. $2(2t-1)^2 - 6t + 1 = 0 \Rightarrow 2(4t^2 - 4t + 1) - 6t + 1 = 0 \Rightarrow 8t^2 - 14t + 3 = 0$ $D = 196 - 96 = 100$ $t_1 = \frac{14+10}{16} = 1,5$ (не подходит); $t_2 = \frac{14-10}{16} = 0,25$ $\cos^2 2x = 0,25 \Rightarrow \frac{1 + \cos 4x}{2} = 0,25 \Rightarrow \cos 4x = -0,5$ $4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$** 4) $\text{tg } x + 2\text{ctg } x = 3$ ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{2}$. Пусть $\text{tg } x = t$. Тогда $t + \frac{2}{t} = 3 \Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0$. $t_1 = 1, t_2 = 2$ 1) $\text{tg } x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg } x = 2 \Rightarrow x = \text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = \text{arctg } 2 + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$** 5) $\sqrt{3}\text{tg } x + 3 = \frac{3}{\cos^2 x}$ Используем тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \text{tg}^2 x$: $\sqrt{3}\text{tg } x + 3 = 3(1 + \text{tg}^2 x) \Rightarrow 3\text{tg}^2 x - \sqrt{3}\text{tg } x = 0$ $\sqrt{3}\text{tg } x(\sqrt{3}\text{tg } x - 1) = 0$ 1) $\text{tg } x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg } x = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \pi k$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$** 6) $4\sin^2 x + 9\text{ctg}^2 x = 6$ $4\sin^2 x + 9\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = 6$ Пусть $\sin^2 x = t, t \in (0, 1]$. $4t + \frac{9(1-t)}{t} = 6 \Rightarrow 4t^2 + 9 - 9t = 6t \Rightarrow 4t^2 - 15t + 9 = 0$ $D = 225 - 144 = 81$ $t_1 = \frac{15+9}{8} = 3$ (не подходит); $t_2 = \frac{15-9}{8} = 0,75$ $\sin^2 x = 0,75 \Rightarrow \frac{1 - \cos 2x}{2} = 0,75 \Rightarrow \cos 2x = -0,5$ $2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$**