1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $\angle1 = \angle2 = 38^{\circ}$. $\angle3 = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: $104^{\circ}$**. 2. На рис. 53 прямые $M$ и $A$ параллельны, так как сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$ ($73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$). Угол, соответственный углу $44^{\circ}$, также равен $44^{\circ}$. Угол $CFN$ является смежным для угла, вертикального углу $KFN$ (который равен сумме углов треугольника). Для треугольника с углами $73^{\circ}$ и $44^{\circ}$: внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. $\angle CFN = 73^{\circ} + 44^{\circ} = 117^{\circ}$. **Ответ: $117^{\circ}$**. 3. На рис. 54 в $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 84^{\circ}$. В $\triangle ECF$: $\angle F = 180^{\circ} - (84^{\circ} + 24^{\circ}) = 72^{\circ}$. Угол $F$ и искомый угол $F$ в треугольнике — это один и тот же угол. **Ответ: $72^{\circ}$**. 4. Дано: $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$. Доказать: $\angle A = \angle C$. Доказательство: При $AB \parallel CD$ и секущей $AD$: $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ (односторонние). При $BC \parallel AD$ и секущей $CD$: $\angle C + \angle D = 180^{\circ}$ (односторонние). Так как $\angle A = 180^{\circ} - \angle D$ и $\angle C = 180^{\circ} - \angle D$, то $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. 5. В $\triangle MNF$: $\angle N = 90^{\circ}$, $\angle M = 30^{\circ}$. Тогда $\angle F = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $FD$ — биссектриса, значит $\angle MFD = \angle NFD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle MFD$: $\angle M = 30^{\circ}$ и $\angle MFD = 30^{\circ}$, значит треугольник равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. В прямоугольном $\triangle NFD$: против угла в $30^{\circ}$ ($\angle NFD$) лежит катет $ND$, равный половине гипотенузы $FD$. $ND = FD : 2 = 20 : 2 = 10$ см. $MN = MD + ND = 20 + 10 = 30$ см. **Ответ: 30 см**.