Отрезки MK и PT являются диаметрами двух окружностей с общим центром O. Докажите, что прямые MT и PK параллельны.

4. **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle MOT$ и $\triangle KOP$. 2) $MO = OK$ (как радиусы большей окружности), $OT = OP$ (как радиусы меньшей окружности). 3) $\angle MOT = \angle KOP$ как вертикальные. 4) Следовательно, $\triangle MOT = \triangle KOP$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 5) Из равенства треугольников следует, что $\angle OMT = \angle OKP$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $MT$, $PK$ и секущей $MK$. 6) Так как накрест лежащие углы равны, то $MT \parallel PK$. 5. **Решение:** 1) В равнобедренном $\triangle ABC$ биссектриса $BD$, проведённая к основанию, является также высотой и медианой. Значит, $\angle BDA = 90^{\circ}$ и $\angle MDK = 90^{\circ}$. 2) Так как $MK \parallel AB$, то $\angle MKD = \angle BAC = 27^{\circ}$ (как соответствующие углы при параллельных прямых и секущей $AC$). 3) Сумма углов $\triangle MKD$ равна $180^{\circ}$, значит: $\angle KMD = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 27^{\circ}) = 63^{\circ}$. **Ответ:** $90^{\circ}$, $27^{\circ}$, $63^{\circ}$. 6. **Доказательство:** 1) Так как $\triangle ABK$ равнобедренный с основанием $BK$, то углы при основании равны: $\angle AKB = \angle ABK$. 2) Так как $KB$ — биссектриса $\angle AKN$, то $\angle AKB = \angle BKN$. 3) Из пунктов 1 и 2 следует, что $\angle ABK = \angle BKN$. 4) Углы $\angle ABK$ и $\angle BKN$ являются накрест лежащими при прямых $AB$, $KN$ и секущей $BK$. 5) Так как накрест лежащие углы равны, то $AB \parallel KN$.