Question

На рисунке прямая BE касается окружности с центром O в точке B. Найдите ∠PBE, если ∠AOB = 142°.

Accepted Answer

1. Рассмотрим треугольник $	riangle AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, значит, $OA = OB$. Следовательно, $	riangle AOB$ — равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBA = \angle OAB$.
3. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдём $\angle OBA$:
$\angle OBA = (180^{\circ} - \angle AOB) : 2 = (180^{\circ} - 142^{\circ}) : 2 = 38^{\circ} : 2 = 19^{\circ}$.
4. По условию прямая $BE$ — касательная к окружности, а $OB$ — радиус, проведённый в точку касания. По свойству касательной, радиус перпендикулярен ей: $OB \perp BE$, то есть $\angle OBE = 90^{\circ}$.
5. Угол $\angle PBE$ является смежным углу $\angle EBA$, но по чертежу видно, что искомый угол $\angle PBE$ можно найти как разность прямого угла $\angle OBE$ и угла $\angle OBA$ (так как точки $P, B, A$ лежат на одной прямой — хорде, а $BE$ касается окружности):
$\angle PBE = \angle OBE - \angle OBA = 90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ}$.

Ответ: 71

На рисунке прямая BE касается окружности с центром O в точке B. Найдите ∠PBE, если ∠AOB = 142°.

Ответ ассистента

Другие решения