Ответы на вопросы 11-18 по теме подобие треугольников и тригонометрические функции.

11. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному. 12. **Утверждения о пропорциональных отрезках:** 1) Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: $h^2 = a_c \cdot b_c$. 2) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$. 13. Метод подобия при построении: строится фигура, подобная искомой по некоторым условиям, а затем выполняется гомотетия или масштабирование для удовлетворения линейных размеров. 14. Для определения высоты предмета (например, дерева) можно использовать шест. Его ставят так, чтобы верхушка дерева и верхушка шеста находились на одной прямой линии с глазом наблюдателя, лежащего на земле. Из подобия треугольников: $\frac{H}{h} = ?rac{L}{l}$, где $H$ — высота дерева, $h$ — высота шеста, $L$ и $l$ — расстояния от глаза до дерева и шеста. 15. Две фигуры называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одной фигуры пропорциональны сходственным сторонам другой фигуры. Коэффициент подобия ($k$) — это число, равное отношению сходственных сторон. 16. Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом — отношение противолежащего катета к прилежащему. 17. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого, то треугольники подобны по первому признаку (по двум углам, так как вторые углы по $90^{\circ}$). У подобных треугольников стороны пропорциональны, значит отношения сторон (синус, косинус, тангенс) зависят только от величины угла и будут равны. 18. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. 19. Значения тригонометрических функций: | Угол | $\sin$ | $\cos$ | $\text{tg}$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $30^{\circ}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | | $45^{\circ}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | | $60^{\circ}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |