1 вариант. 1. По рис. 1 найдите угол B. 2. По рис. 2 докажите, что AC > AB. 3. По рис. 3 найдите AB, если CD = 6 см. 4. По рис. 4 докажите, что BD = CD, если AD - биссектриса угла BAC.

На листе представлены два блока заданий «1 вариант». Решу задачи из первого блока по рисункам. **Блок 1 (по рисункам)** 1. На Рис. 1 изображён прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ}$. **Ответ:** $59^{\circ}$. 2. На Рис. 2 в $\triangle ABC$ углы равны $42^{\circ}$ и $53^{\circ}$. Найдём третий угол: $\angle B = 180^{\circ} - (42^{\circ} + 53^{\circ}) = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как $\angle B (85^{\circ}) > \angle C (53^{\circ})$, то сторона, лежащая против $\angle B$ (это $AC$), больше стороны, лежащей против $\angle C$ (это $AB$). $AC > AB$, что и требовалось доказать. 3. На Рис. 3 в прямоугольном $\triangle ABC$ проведена гипотенуза $AB$. Угол $\angle B = 45^{\circ}$, значит $\angle A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, $AC = BC$. Отрезок $CD$ — высота (судя по перпендикуляру). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Если $CD = 6$ см, то $AB = 2 \cdot CD = 2 \cdot 6 = 12$ см. **Ответ:** $12$ см. 4. На Рис. 4 рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. $AD$ — общая сторона. $\angle BAD = \angle CAD$ (так как $AD$ — биссектриса). Если на рисунке отмечено, что $AB = AC$ (штрихами), то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что $BD = CD$, что и требовалось доказать. **Блок 2 (текстовые задачи)** 1. Пусть один острый угол $x$, тогда второй $4x$. $x + 4x = 90^{\circ} \Rightarrow 5x = 90^{\circ} \Rightarrow x = 18^{\circ}$. Второй угол: $18^{\circ} \cdot 4 = 72^{\circ}$. **Ответ:** $18^{\circ}$ и $72^{\circ}$. 2. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) проведена высота $CH$. $\angle HCA = 14^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle CHA$: $\angle A = 90^{\circ} - 14^{\circ} = 76^{\circ}$. В основном $\triangle ABC$: $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 76^{\circ} = 14^{\circ}$. **Ответ:** $76^{\circ}$ и $14^{\circ}$. 4. Периметр $P = 2a + b = 10$, где $a$ — боковая сторона, $b$ — основание. По неравенству треугольника: $2a > b$. Возможные целые значения $a$: Если $a=1$, то $b = 10 - 2 = 8$. Не подходит ($2 < 8$). Если $a=2$, то $b = 10 - 4 = 6$. Не подходит ($4 < 6$). Если $a=3$, то $b = 10 - 6 = 4$. Подходит ($6 > 4$). Стороны: 3, 3, 4. Если $a=4$, то $b = 10 - 8 = 2$. Подходит ($8 > 2$). Стороны: 4, 4, 2. Если $a=5$, то $b = 0$ — не существует. **Ответ:** 2 решения.