1. Найдите девятый член геометрической прогрессии (b_n), если b_1 = 100 000 и q = 1/5.

1. Чтобы найти $n$-й член геометрической прогрессии, используем формулу: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. $b_9 = 100\,000 \cdot (\frac{1}{5})^{9-1} = 100\,000 \cdot (\frac{1}{5})^8 = \frac{100\,000}{390\,625} = \frac{64}{250} = 0,256$. Ответ: 0,256. 2. Сумма $n$ первых членов прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Дано: $b_1 = 6$, $q = 4$, $n = 5$. $S_5 = \frac{6 \cdot (4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{6 \cdot (1024 - 1)}{3} = 2 \cdot 1023 = 2046$. Ответ: 2046. 3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Здесь $b_1 = -54$. Найдем $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{18}{-54} = -\frac{1}{3}$. $S = \frac{-54}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-54}{\frac{4}{3}} = -54 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{162}{4} = -40,5$. Ответ: -40,5. 4. Для прогрессии с положительными членами $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Дано: $b_3 = 3,6 \Rightarrow b_1 \cdot q^2 = 3,6$. В тексте обрезано значение другого члена (предположим, $b_5 = 32,4$ по аналогии с типовыми задачами, так как нижняя строка не видна полностью). **Допущение: $b_5 = 32,4$**. $\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 q^4}{b_1 q^2} = q^2 = \frac{32,4}{3,6} = 9$. Так как члены положительные, $q = 3$. $b_1 = \frac{3,6}{3^2} = \frac{3,6}{9} = 0,4$. $S_5 = \frac{0,4 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{0,4 \cdot 242}{2} = 0,2 \cdot 242 = 48,4$. Ответ: 48,4 (при условии $b_5 = 32,4$).