Question

1. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB = 12, AC = 9, MN = 3. Найдите AM. 2. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 18, MN = 12. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN. 3. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=5, AD=6, AC=22. Найдите AO.

Accepted Answer

1. Треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам ($∠B$ — общий, $∠BMN = ∠BAC$ как соответственные при $MN ∥ AC$).
Из подобия следует: $\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{AB}$
$\frac{3}{9} = \frac{BM}{12} \Rightarrow 3 ∙ 12 = 9 ∙ BM ∙ \Rightarrow BM = \frac{36}{9} = 4$
$AM = AB - BM = 12 - 4 = 8$
Ответ: 8.

2. Треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны (по двум углам). Коэффициент подобия $k = \frac{MN}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$S_{MBN} = \frac{4}{9} ∙ S_{ABC} = \frac{4}{9} ∙ 81 = 4 ∙ 9 = 36$
Ответ: 36.

3. В трапеции треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ вертикальные, $∠BCO = ∠DAO$ как накрест лежащие при $BC ∥ AD$).
Пусть $AO = x$, тогда $OC = AC - AO = 22 - x$.
$\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{AO} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{22 - x}{x}$
$5x = 6(22 - x) \Rightarrow 5x = 132 - 6x \Rightarrow 11x = 132 \Rightarrow x = 12$
Ответ: 12.

Ответ ассистента

Другие решения