Решите неравенство log^2_{1/2}(-log_3 x) - log_{1/2} log^2_3 x <= 3

Для решения логарифмического неравенства $\log^2_{\frac{1}{2}}(-\log_3 x) - \log_{\frac{1}{2}} \log^2_3 x \le 3$ выполним следующие шаги: 1. **Определим область допустимых значений (ОДЗ):** Аргументы логарифмов должны быть положительными: $\begin{cases} x > 0 \\ -\log_3 x > 0 \\ \log^2_3 x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x < 0 \\ \log_3 x \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x < 1 \\ x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow x \in (0; 1)$ 2. **Преобразуем неравенство:** Используем свойство $\log_a b^n = n \log_a b$ для второго слагаемого. Так как $\log_3 x < 0$ на ОДЗ, то $\sqrt{\log^2_3 x} = |\log_3 x| = -\log_3 x$. Тогда: $\log^2_{\frac{1}{2}}(-\log_3 x) - \log_{\frac{1}{2}} (-\log_3 x)^2 \le 3$ $\log^2_{\frac{1}{2}}(-\log_3 x) - 2 \log_{\frac{1}{2}} (-\log_3 x) \le 3$ 3. **Введем замену:** Пусть $t = \log_{\frac{1}{2}}(-\log_3 x)$. $t^2 - 2t - 3 \le 0$ Корни уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$: $t_1 = 3, t_2 = -1$. Решение квадратного неравенства: $-1 \le t \le 3$. 4. **Обратная замена:** $-1 \le \log_{\frac{1}{2}}(-\log_3 x) \le 3$ Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, знаки неравенства меняются: $(\frac{1}{2})^3 \le -\log_3 x \le (\frac{1}{2})^{-1}$ $\frac{1}{8} \le -\log_3 x \le 2$ $-2 \le \log_3 x \le -\frac{1}{8}$ $3^{-2} \le x \le 3^{-\frac{1}{8}}$ $\frac{1}{9} \le x \le \frac{1}{\sqrt[8]{3}}$ Все значения входят в ОДЗ $(0; 1)$. **Ответ: $[\frac{1}{9}; \frac{1}{\sqrt[8]{3}}]$**