Контрольная работа «Параллельные прямые, сумма углов треугольника». Вариант 2. Решить задачи 1-4.

### №1 **Дано:** $a \parallel b$ $c, d$ — секущие Углы, образованные секущей $c$: $108^\circ$ и $72^\circ$ Угол, образованный секущей $d$ с прямой $b$: $95^\circ$ **Найти:** $\alpha$ **Решение:** 1. Проверим параллельность прямых $a$ и $b$ по углам при секущей $c$. Сумма внутренних односторонних углов: $108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$. Следовательно, $a \parallel b$. 2. Угол $\alpha$ и угол $95^\circ$ являются внутренними односторонними при параллельных прямых $a, b$ и секущей $d$. 3. По свойству параллельных прямых: $\alpha + 95^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$. **Ответ:** $85^\circ$. ### №2 **Дано:** $a \parallel b$ $\angle 1 = 44^\circ$ $\angle 2 = \angle 3$ **Найти:** $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3$ **Решение:** 1. Угол $1$ и угол, вертикальный углу $3$ (обозначим его $3'$), являются соответственными при $a \parallel b$. Значит, $\angle 3 = \angle 1 = 44^\circ$. 2. Так как по условию $\angle 2 = \angle 3$, то $\angle 2 = 44^\circ$. 3. Сумма углов: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 44^\circ + 44^\circ + 44^\circ = 132^\circ$. **Ответ:** $132^\circ$. ### №3 **Дано:** Рисунок с прямыми $a, b$ и секущей. Накрест лежащие углы равны по $75^\circ$. Утверждение Маши: «$a \parallel b$ по свойству параллельных прямых». **Вопрос:** Права ли Маша? Если нет, на какую теорему сослаться? **Решение:** Маша не права в формулировке. Свойства используются, когда мы уже знаем, что прямые параллельны. Здесь мы это доказываем. **Ответ:** Маша не права. Нужно сослаться на **признак** параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. ### №4 **Дано:** $\triangle MNF$ $\angle N = 90^\circ$ $\angle M = 30^\circ$ $FD$ — биссектриса $FD = 20$ см **Найти:** $MN$ **Решение:** 1. В прямоугольном $\triangle MNF$: $\angle F = 90^\circ - \angle M = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 2. Так как $FD$ — биссектриса, то $\angle NFD = \angle MFD = 60^\circ : 2 = 30^\circ$. 3. В прямоугольном $\triangle NFD$ катет $ND$ лежит против угла $30^\circ$: $ND = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. 4. Рассмотрим $\triangle MDF$: $\angle M = 30^\circ$ и $\angle MFD = 30^\circ$. Значит, $\triangle MDF$ — равнобедренный ($MD = FD = 20$ см). 5. $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см. **Ответ:** 30 см.