7. OH и ON — высоты углов треугольников MOK и EOF, причем OH = ON. Найдите длину отрезка MK, если EN = 7,8 см, OE = 8,6 см, HM = 8,3 см.

7. В треугольниках $MOK$ и $EOF$ высоты $OH$ и $ON$ равны, значит треугольники равны (по стороне и двум прилежащим углам, так как вертикальные углы при вершине $O$ равны). Следовательно, стороны соответственных треугольников равны: $MK = EF$. Отрезок $EF = EN + NF$. Из равенства треугольников $NF = HM$ и $EN = OK$. Но проще заметить, что $MK = MH + HK$, а из симметрии и равенства высот $MK = EN + OE$. Так как $MK = NF + EF$, подставим значения: $MK = 8,3 + 5,8 = 14,1$ см. Ответ: б) 14,1 см. 8. При подобии $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ отношение соответственных сторон равно: $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$. Также соответствующие углы равны: $\angle B = \angle E = 73^{\circ}$. Из условия $BC = 6,9$ см и $DF = 7,6$ см. Проверим варианты: в пункте в) указано $DF = 6,9$ см, что противоречит условию. В пункте а) $DE = 6,9$, тогда коэффициент подобия $k = 1$, значит $AC = DF = 7,6$. Это верно. Ответ: а) $DE = 6,9$ см, $AC = 7,6$ см. 9. Периметр $P_{CDE} = 76$ см. Пусть сторона $D_1E_1 = x$. Тогда $C_1D_1 = x / 2,5 = 0,4x$, а $C_1E_1 = x - 8$. Сумма сторон: $x + 0,4x + x - 8 = 76 \Rightarrow 2,4x = 84 \Rightarrow x = 35$. Стороны: 35 см, 14 см, 27 см. Большая сторона — 35 см. Ответ: в) 35 см. 10. В равных треугольниках $\triangle ABO = \triangle KPE$ соответствующие стороны равны, значит $AB = KP$ и $BO = PE$. Так как $BO$ и $PE$ — биссектрисы, то и сами треугольники $ABC$ и $KRM$ равны. Тогда $EM = AC - (AC-KM)$. Дано: $AC = 9$ см, $EM > KE$ на 3,8 см. В силу симметрии биссектрис и равенства треугольников: $EM = (9 - 3,8) / 2 = 2,6$ см. Ответ: в) 2,6 см. 11. Из равенства углов $\angle AMK = \angle BKM$ и общих элементов при отражении относительно прямой (точки $M$ и $K$ лежат на прямой) следует равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними ($MK$ — общая). Верными являются утверждения о равенстве треугольников и соответствующих углов. Ответ: б) 1; 2; 4. 12. На рисунке изображен параллелограмм с диагоналями. При пересечении диагоналей образуются: 2 пары равных треугольников, примыкающих к сторонам, и по 2 пары треугольников, образованных каждой диагональю. Итого: $\triangle AOB=\triangle COD$, $\triangle BOC=\triangle DOA$, $\triangle ABC=\triangle CDA$, $\triangle BCD=\triangle DAB$. Всего 4 пары. Ответ: г) 4.